En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

Si es el número de fracasos antes del primer éxito. (TIPO-I) Si es el número de ensayos de Bernoulli para obtener un éxito. (TIPO-II)

Definición

Notación Si una variable aleatoria discreta sigue una distribución geométrica con parámetro entonces escribiremos o simplemente .

Función de probabilidad Si la variable aleatoria discreta se usa para modelar el número total de intentos hasta obtener el primer éxito en una sucesión de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de éxito es entonces la función de probabilidad de es

para

Función de distribución Si entonces la función de distribución está dada por

para

Propiedades Si considerando que modela el número de fracasos antes del primer éxito entonces la variable aleatoria cumple con algunas propiedades:

Media La media de , siempre que modele el número de ensayos hasta obtener el primer éxito(TIPO-II), está dada por:

La media de , siempre que modele el número de Fracasos antes del primer éxito (TIPO-I), está dada por:

Varianza La varianza de tanto para el TIPO-I como para el TIPO-II, está dada por:

.

Función generadora de probabilidad La función generadora de probabilidad f.g.p está dada por

.

si .

Función generadora de momentos La función generadora de momentos (TIPO-I) está dada por

si .

La función generadora de momentos (TIPO-II) está dada por

si .

Pérdida de Memoria La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida memoria, es decir, para cualesquiera

.

Su distribución análoga, la distribución exponencial, también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos.

La distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene la propiedad de pérdida de memoria.

Distribuciones relacionadas

La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa con parámetro . Más generalmente, si son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente con parámetro entonces

es decir, sigue a una distribución binomial negativa con parámetros y .

La distribución geométrica es un caso especial de la distribución compuesta de Poisson.

Si son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros de éxito pm posibles ), entonces su mínimo

también está geométricamente distribuido con parámetro

.

Véase también

Distribución binomial Distribución binomial negativa Distribución de Poisson Distribución de Bernoulli Distribución exponencial

Referencias

Enlaces externos

Calculadora Distribución geométrica

Geométrica