thumb|300px| El número de las diferentes maneras en las que se puede expresar un número par n como la suma de dos números primos (4 ≤ n ≤ 200.000)
En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Concretamente, G.H. Hardy, en 1921, en su famoso discurso pronunciado en la Sociedad Matemática de Copenhague, comentó que probablemente la conjetura de Goldbach no es solo uno de los problemas no resueltos más difíciles de la teoría de números, sino de todas las matemáticas. Su enunciado es el siguiente:
Historia miniaturadeimagen|Carta de Christian Goldbach a Leonhard Euler
Orígenes El 7 de junio de 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach escribió una carta a Leonhard Euler (carta XLIII), en la que propuso la siguiente conjetura:
Todo número entero que se pueda escribir como la suma de dos números primos también se puede escribir como la suma de tantos números primos (incluida la unidad) como se desee, hasta que todos los términos sean unidades.
Goldbach seguía la convención, ahora abandonada, de considerar el 1 como un número primo, de modo que una suma de unidades sería una suma de números primos. También propuso una segunda conjetura al margen de su carta, que implica la primera:
Parece ser, al menos, que todo número entero mayor que 2 puede escribirse como la suma de tres números primos.
Euler respondió en una carta fechada el 30 de junio de 1742 y le recordó a Goldbach una conversación anterior que habían tenido ("... so Ew. vormals mit mir communicirt haben ..."), en la que Goldbach había comentado que la primera de esas dos conjeturas se derivaría de la afirmación:
Esto es, de hecho, equivalente a su segunda conjetura incluida en el margen del documento. En la carta fechada el 30 de junio de 1742, Euler afirmó:
Que todo número par es suma de dos números primos, lo considero un teorema completamente cierto, aunque no puedo demostrarlo.
Conjetura débil de Descartes René Descartes escribió: "Todo número par puede expresarse como la suma de, como máximo, tres números primos".Pintz, János. "On a conjecture of Descartes". ELKH Rényi Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences. Consultado el 20 junio de 2025. Esta proposición es similar a la conjetura de Goldbach, pero más débil. Paul Erdős dijo: "Descartes descubrió esto antes que Goldbach... pero es mejor que la conjetura lleve el nombre de Goldbach porque, matemáticamente hablando, Descartes era infinitamente rico y Goldbach muy pobre".
Resultados parciales Comprobar la conjetura de Goldbach que involucra la suma de dos primos es mucho más difícil que hacerlo con la conjetura débil de Goldbach, que dice que todo entero impar mayor que 5 es la suma de tres primos. Usando el método de Vinográdov, Nikolái Chudakov, Johannes van der Corput, y Theodor Estermann demostraron (1937-1938) que casi todos los números pares se pueden escribir como la suma de dos primos (en el sentido de que la fracción de números pares hasta algún que se pueden escribir de esa manera tiende a 1 a medida que aumenta). En 1930, Lev Schnirelmann demostró que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de números primos, donde es una constante efectivamente computable; véase densidad de Schnirelmann.Schnirelmann, L. G. (1930). 'On the additive properties of numbers". Publicado por primera vez en Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk (en ruso), vol 14 (1930), pp. 3–27, y reimpreso en Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en ruso), 1939, no. 6, 9–25.Schnirelmann, L. G. (1933). Publicado por primera vez como "Über additive Eigenschaften von Zahlen" . In Mathematische Annalen (in German), vol. 107 (1933), 649–690, and reprinted as "On the additive properties of numbers" en Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en ruso), 1940, no. 7, 7–46. La constante de Schnirelmann es el número más bajo con esta propiedad. El propio Schnirelmann obtuvo . Este resultado fue posteriormente mejorado por muchos autores, como Olivier Ramaré, quien en 1995 demostró que todo número par es de hecho la suma de como máximo 6 primos. El resultado más conocido proviene de la demostración de la conjetura débil de Goldbach por Harald Helfgott, que implica directamente que todo número par es la suma de como máximo 4 primos.
En 1924, Hardy y Littlewood demostraron bajo el supuesto de la hipótesis generalizada de Riemann que la cantidad de números pares hasta que violan la conjetura de Goldbach es mucho menor que para pequeños.
En 1948, utilizando métodos de la teoría de cribas, Alfréd Rényi demostró que todo número par suficientemente grande puede escribirse como la suma de un primo y un número casi primo con como máximo factores. Chen Jingrun demostró en 1973, utilizando la teoría de la criba, que todo número par suficientemente grande puede escribirse como la suma de dos primos, o como un primo y un número semiprimo (el producto de dos primos). Véase el teorema de Chen para más información.
En 1951, Yuri Linnik demostró la existencia de una constante tal que todo número par suficientemente grande es la suma de dos números primos y como máximo potencias de 2. En 2020, János Pintz y Imre Ruzsa descubrieron que cumple esta condición. Suponiendo la validez de la hipótesis generalizada de Riemann, también cumple, como demostraron Roger Heath-Brown y Jan-Christoph Schlage-Puchta en 2002.
En 1975, Hugh Lowell Montgomery y Bob Vaughan demostraron que la mayoría de los números pares pueden expresarse como la suma de dos números primos. Más precisamente, demostraron la existencia de constantes positivas y tales que, para todo número suficientemente grande , todo número par menor que es la suma de dos números primos, con como máximo excepciones. En particular, el conjunto de enteros pares que no son la suma de dos números primos tiene densidad cero.
En 2013, el matemático peruano Harald Helfgott presentó una demostración de la conjetura débil para la serie de libros Annals of Mathematics Studies. El artículo fue aceptado, pero Helfgott decidió realizar modificaciones importantes sugeridas por el revisor.http://actualidad.rt.com/ciencias/view/95102-cientifico-demostrar-problema-matematico
La conjetura débil se deduce de la conjetura de Goldbach, ya que si es la suma de dos primos, entonces es la suma de tres primos. Sin embargo, la implicación recíproca y, por lo tanto, la conjetura de Goldbach, permanecen sin demostrar, incluso si la demostración de Helfgott es correcta.
En 2022 una relación entre la conjetura de Goldbach y la conjetura de Polignac (que incluye como caso particular la conjetura de los primos gemelos) fue descubierta por el matemático español José Alfonso López Nicolás.
Resultados computacionales Para valores pequeños de , la conjetura de Goldbach (y, por lo tanto, la conjetura débil de Goldbach) puede verificarse directamente. Por ejemplo, en 1938, Nils Pipping verificó laboriosamente la conjetura hasta .Pipping, Nils (1890–1982). "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz". Acta Academiae Aboensis, Mathematica et physica 11, 4–25, 1938. Con la llegada de las computadoras, se han comprobado muchos más valores de ; T. Oliveira e Silva realizó una búsqueda computacional distribuida que verificó la conjetura para (y la volvió a comprobar hasta ) en 2013. Un dato de esta búsqueda es que es el número más pequeño que no puede escribirse como suma de dos números primos donde uno es menor que 9781.
Enunciado formal Cada una de las tres conjeturas tiene un análogo natural en términos de la definición moderna de primo, según la cual el 1 queda excluido. Una versión moderna de la primera conjetura es:
Todo número entero que se pueda escribir como la suma de dos números primos también se puede escribir como la suma de tantos números primos como se desee, hasta que todos los términos sean dos (si el número entero es par) o un término sea tres y todos los demás términos sean dos (si el número entero es impar).
Una versión moderna de la conjetura planteada en el margen del documento original es:
Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos.
Y una versión moderna de la antigua conjetura de Goldbach, que Euler le recordó, es:
Todo número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos.
Estas versiones modernas podrían no ser completamente equivalentes a los enunciados originales correspondientes. Por ejemplo, si existiera un entero par mayor que 4, siendo un primo, que no pudiera expresarse como la suma de dos primos en el sentido moderno, entonces sería un contraejemplo a la versión moderna de la tercera conjetura (sin ser un contraejemplo a la versión original). Por lo tanto, la versión moderna es probablemente más fuerte (pero para confirmarlo, habría que demostrar que la primera versión, aplicada libremente a cualquier entero par positivo , no podría descartar la existencia de un contraejemplo específico como ). En cualquier caso, las afirmaciones modernas guardan la misma relación entre sí que las antiguas. Es decir, la segunda y la tercera afirmación moderna son equivalentes, y cualquiera de ellas implica la primera.
La tercera afirmación moderna (equivalente a la segunda) es la forma en que la conjetura se suele expresar hoy en día. También se la conoce como la conjetura de Goldbach "fuerte", "par" o "binaria". Una forma más débil de la segunda afirmación moderna, conocida como "conjetura débil de Goldbach", la "conjetura de Goldbach impar" o la "conjetura de Goldbach ternaria", afirma que:
Todo número entero impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres números primos impares.
Justificación heurística
Consideraciones estadísticas centradas en la distribución probabilística de los números primos presentan evidencia informal a favor de la conjetura (tanto en su forma débil como fuerte) para los enteros suficientemente grandes: cuanto mayor sea el entero, más formas existen de representarlo como la suma de otros dos o tres números, y más probable es que al menos una de estas representaciones esté compuesta enteramente de números primos.
Una versión heurística muy simplificada del argumento probabilístico (para la forma fuerte de la conjetura de Goldbach) es la siguiente: el teorema de los números primos afirma que un entero seleccionado al azar tiene aproximadamente una probabilidad de ser primo. Por lo tanto, si es un entero par grande y es un número entre 3 y , entonces cabría esperar que la probabilidad de que y sean primos simultáneamente sea . Si se sigue este razonamiento heurístico, cabría esperar que el número total de maneras de escribir un entero par grande como suma de dos primos impares sea aproximadamente:
Dado que , esta cantidad tiende a infinito a medida que aumenta, cabría esperar que cada entero par grande no tenga una sola representación como suma de dos primos, sino muchísimas.
Este argumento heurístico es en realidad algo inexacto porque asume que los eventos de y son primos (estadísticamente independientes entre sí. Por ejemplo, si es impar, entonces también es impar, y si es par, entonces es par, una relación no trivial porque, aparte del número 2, solo los números impares pueden ser primos. De manera similar, si es divisible por 3, y ya era un primo distinto de 3, entonces también sería coprimo con respecto a 3 y, por lo tanto, sería ligeramente más probable que fuera primo que un número general. Siguiendo este tipo de análisis con más cuidado, Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood en 1923 conjeturaron (como parte de su conjetura de la tupla prima de Hardy-Littlewood) que para cualquier fijo, el número de representaciones de un entero grande como la suma de primos con debería ser asintóticamente igual a