thumb|derecha|¿Puede descomponerse una bola en un número finito de conjuntos de puntos y reensamblarse para dar como resultado dos bolas idénticas a la original?
La paradoja de Banach–Tarski es un teorema en geometría teórica de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente:
A continuación vemos una versión más contundente del teorema:
Informalmente esto se dice con frecuencia de la siguiente forma:
Esta última forma se llama la "paradoja del guisante y el Sol."
La razón por la que se considera una paradoja a este teorema es porque contradice la intuición geométrica básica. "Doblar la bola" dividiéndola en partes y removiéndolas por rotaciones, sin ningún estiramiento, curvatura, o adición de nuevos puntos, parece ser imposible, ya que todas estas operaciones conservan el volumen.
Al contrario de la mayoría de teoremas de geometría, este resultado depende de forma crítica de la elección de los axiomas de la teoría de conjuntos. Únicamente puede demostrarse usando el axioma de elección,Wagon, Corolario 13.3 que permite la construcción de conjuntos no medibles, es decir, colecciones de puntos que no tienen un volumen en el sentido ordinario y que para su construcción requerirían un número infinito de elecciones.
En 2005 se demostró que las piezas de la descomposición pueden elegirse de tal forma que puedan moverse continuamente sin solaparse entre sí. (en inglés)
Publicación de Banach y Tarski
En un artículo publicado en 1924, (en francés) Stefan Banach y Alfred Tarski dieron una construcción de semejante "descomposición paradójica", basada en el trabajo anterior de Giuseppe Vitali sobre el intervalo unidad y sobre las descomposiciones de subconjuntos de espacios euclídeos en varias dimensiones. Demostraron el enunciado siguiente, más general, la forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski:
Ahora sea la bola original y la unión de las dos copias trasladadas de la bola original. Entonces la proposición quiere decir que se puede dividir la bola original en un cierto número de piezas y después rotar y trasladar estas piezas de forma que el resultado sea el conjunto entero, el cual contiene dos copias de .
La forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski es falsa para dimensión una o dos, pero Banach y Tarski mostraron que una proposición análoga se mantiene verdadera si se permiten muchos subconjuntos. La diferencia entre las dimensiones una y dos por un lado, y tres o más por el otro, se debe a la estructura superior del grupo de los movimientos euclídeos en las dimensiones mayores, el cual es resoluble para y contiene un grupo libre con dos generadores para . John von Neumann estudió las propiedades del grupo de equivalencias que hacen posible una descomposición paradójica e introdujo la noción de grupos flexibles. También encontró una forma de la paradoja en el plano que usa la conservación del área, transformaciones afines, en lugar de las congruencias habituales.
Tarski demostró que los grupos flexibles son precisamente aquellos para los que no existen descomposiciones paradójicas.
Tratamiento formal
La paradoja de Banach-Tarski establece que una bola en el espacio euclídeo ordinario puede doblar su volumen usando solo las operaciones de partirla en subconjuntos, sustituir un conjunto por un conjunto congruente y reensamblar. Su estructura matemática se esclarece mucho enfatizando el papel que juega el grupo de movimientos euclídeos e introduciendo las nociones de conjuntos equidescomponibles y conjunto paradójico. Supóngase que es un grupo actuando sobre un conjunto . En el caso especial más importante es un espacio euclídeo dimensional, y consiste en todas las isometrías de , es decir, las transformaciones de en sí mismo que conservan las distancias. Dos figuras geométricas que pueden transformarse entre sí se llaman congruentes, y esta terminología puede extenderse a la acción general-. Dos subconjuntos se llaman equidescomponibles, o equidescomponibles con respecto a , si y pueden ser particionadas en el mismo número finito de respectivamente piezas congruentes. Es fácil ver que esto define una relación de equivalencia entre todos los subconjuntos de . Formalmente ...
Usando esta terminología, la paradoja de Banach-Tarski puede reformularse de la siguiente manera:
De hecho, hay un resultado interesante en este caso, debido a Robinson:Robinson, R. M. (1947). On the Decomposition of Spheres (en inglés) Fund. Math. 34:246-260. Este artículo, basado en el análisis de la paradoja de Hausdorff, estableció una cuestión planteada por von Neumann en 1929. Se puede conseguir doblar el número de bolas con cinco piezas, y con menos no será suficiente.
La versión fuerte de la paradoja afirma:
Aunque aparentemente más general, este enunciado se deriva de forma simple del doblado de una bola usando una generalización del teorema de Bernstein-Schroeder debida a Banach que implica que ...
La paradoja de Banach-Tarski puede ponerse en contexto destacando que para dos conjuntos en la forma fuerte de la paradoja, siempre hay una función biyectiva que puede mapear los puntos de una forma en la otra uno a uno. En el lenguaje de la teoría de conjuntos de Georg Cantor, esos conjuntos tienen igual cardinalidad. Así, si se aumenta el grupo para permitir biyecciones arbitrarias de , todos los conjuntos con interior no vacío se hacen congruentes. De igual manera, podemos convertir una bola en una bola mayor o menor estirando, en otras palabras, aplicando transformaciones de semejanza. Así si el grupo es suficientemente grande, pueden encontrarse conjuntos equidescomponibles cuyo "tamaño" varía. Todavía más, ya que un conjunto enumerable puede descomponerse en dos copias de él mismo, se podría esperar que de alguna forma, usando muchas piezas se pudiera hacer el truco. Por otro lado, en la paradoja de Banach-Tarski el número de piezas es finito y las equivalencias permitidas son congruencias euclídeas, que conservan los volúmenes. Sin embargo, ¡acaban doblando el volumen de la bola! Aunque esto es realmente sorprendente, algunas de las piezas usadas en la descomposición paradójica son conjuntos no medibles, por lo que la noción de volumen (más precisamente, la medida de Lebesgue) no está definida para ellas, y la partición no puede obtenerse de forma práctica. De hecho, la paradoja de Banach-Tarski demuestra que es imposible encontrar una medida finita aditiva (o una medida de Banach) definida en todos los subconjuntos de un espacio euclídeo de dimensión tres (o más) que sea invariante respecto a movimientos euclídeos y tome el valor uno en un cubo unidad. En su trabajo posterior, Tarski mostró que, por otro lado, la no existencia de descomposiciones paradójicas de este tipo implica la existencia de una medida invariante finita aditiva.
El núcleo de la demostración de la forma "doblar la bola" de la paradoja presentada abajo es el remarcable hecho de que una isometría euclídea (y renombrado de elementos) permite dividir un cierto conjunto (esencialmente, la superficie de una esfera unidad) en cuatro partes, después rotar una de ellas hasta que se convierta en ella misma más dos de las otras partes. La demostración de Banach y Tarski se apoyaba en un hecho análogo descubierto por Hausdorff algunos años antes:
Conexión con el trabajo previo y papel del axioma de elección
Banach y Tarski reconocen explícitamente la construcción de Giuseppe Vitali de 1905 del conjunto que lleva su nombre, la paradoja de Hausdorff (1914), y un artículo previo (1923) de Banach como precursores de su trabajo. Las construcciones de Vitali y Hausdorff dependen del axioma de elección de Zermelo ("AE"), que también es crucial en el artículo de Banach-Tarski para demostrar su paradoja y como prueba de otro resultado:
Ellos remarcan:
"El papel que tiene este axioma en nuestro razonamiento nos parece merecer nuestra atención."
Y destacan que aunque el segundo resultado encaja completamente con nuestra intuición geométrica, su demostración demuestra AE de forma incluso más sustancial que la demostración de la paradoja. Por tanto Banach y Tarski implica que AE no debería ser rechazado simplemente porque produce una descomposición paradójica, porque tal argumento también socava demostraciones de proposiciones geométricas intuitivas.
Sin embargo, en 1949 A. P. Morse probó que la proposición sobre polígonos euclídeos puede demostrarse en teoría de conjuntos ZF y que no requiere el AE. En 1964, Paul Cohen demostró que el AE no puede demostrarse a partir de ZF. Una versión más débil de AE es el axioma de elección dependiente, ED. Se ha visto que ...
La paradoja de Banach-Tarski no es ni un teorema de ZF, ni de ZF+ED.Wagon, Corollary 13.3 (en inglés)
Una gran cantidad de matemáticos usa AE. Como Stan Wagon señala al final de su monografía, la paradoja de Banach-Tarski ha sido más significativa por su papel en matemática pura que por cuestiones fundamentales: motivó una nueva y fructífera dirección para la investigación, la flexibilidad de los grupos, que no tiene nada que ver con cuestiones fundamentales.
En 1991, usando resultados entonces recientes de Matthew Foreman y Friedrich Wehrung, (en inglés) Janusz Pawlikowski demostró que la paradoja de Banach-Tarski se obtiene de ZF junto con el teorema de Hahn-Banach. (en inglés) El teorema de Hann-Banach no se apoya en el AE completo pero puede demostrarse usando una versión más débil del AE conocida como el lema del ultrafiltro. Así Pawlikowski demostró que la teoría de conjuntos requerida para demostrar la paradoja de Banach-Tarski, aunque más fuerte que ZF era más débil que el ZFE completo.
Una idea de la demostración thumb|derecha|250px
Aquí damos una idea de la demostración que es similar pero no idéntica a la dada por Banach y Tarski. Esencialmente, la descomposición paradójica de una bola se alcanza en cuatro pasos:
Hallar una descomposición paradójica del grupo libre en dos generadores. Hallar un grupo de rotaciones en el espacio en 3D isomorfo al grupo libre en dos generadores. Usar la descomposición paradójica de ese grupo y el AE para producir una descomposición paradójica de la esfera hueca unidad. Extender esta descomposición de la esfera a una descomposición de la bola unidad sólida.
Ahora discutiremos cada uno de estos pasos con más detalle.
Paso 1
El grupo libre con dos generadores, y , consiste en todas las cadenas finitas que se pueden formar a partir de los cuatro símbolos y , tales que ninguna aparece directamente junto a una y ninguna aparece junto a una . Dos de estas cadenas pueden concatenarse y convertirse en una cadena de este tipo reemplazando repetidamente las subcadenas "prohibidas" por la cadena vacía. Por ejemplo: concatenada con resulta en . Se puede comprobar que el conjunto formado por estas cadenas con esta operación forma un grupo con elemento identidad, la cadena vacía . Llamaremos a este grupo .
thumb|derecha|250px|Los conjuntos y en el grafo de Cayley de
El grupo puede "descomponerse paradójicamente" como sigue: Sea el conjunto de todas las cadenas no prohibidas que empiezan por y defínase y de forma similar. Entonces,
pero también
y además,
La notación significa "tomar todas las cadenas de y concatenarlas a la izquierda con ".
Asegúrese de que se entiende esta última línea, porque es el núcleo de la demostración. Por ejemplo, puede haber una cadena en el conjunto el cual, debido a la regla de que no debe aparecer junto a , queda reducida a la cadena . Análogamente, contiene todas las cadenas que empiezan con (por ejemplo la cadena que queda reducida a . Así, contiene todas las cadenas que empiezan con y .
Hemos cortado nuestro grupo en cuatro piezas (más el solitario ), después hemos "trasladado" dos de ellas multiplicando por o por , después hemos "reensamblado" dos piezas para hacer una copia de y las otras dos para hacer otra copia de . Eso es exactamente lo que queremos hacer a la bola.
Paso 2