La ley de Titius-Bode, a veces denominada solo ley de Bode, es una hipótesis que relaciona la distancia de un planeta al Sol con el número de orden del planeta mediante una regla simple. Matemáticamente, se trata de una sucesión que facilita la distancia de un planeta al Sol.
Expresión matemática
La ley original era:
donde n = 0, 3, 6, 12, 24, 48..., siendo n dos veces el valor anterior y a representa el semieje mayor de la órbita.
thumb|600px|Entonces solo se conocían los planetas clásicos Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno que distan del Sol: 0,38; 0,72; 1; 1,52; 5,2; 9,54 ua (no se conocían los asteroides, a un promedio de 2,7 ua).
Es decir; fórmese la sucesión: 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384...,
Ahora añádase 4 a la sucesión anterior: 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196, 388...
Divídase por 10 la sucesión anterior: 0,4; 0,7; 1,0; 1,6; 2,8; 5,2; 10,0; 19,6; 38,8 ...
Descubrimiento e importancia histórica thumb|200px|Johann Daniel Titius. thumb|200px|Johann Elert Bode.
La ley la descubrió en 1766 Johann Daniel Titius y se la atribuyó en 1772 al director del Observatorio de Berlín, Johann Elert Bode; de ahí el nombre. Sin embargo, algunos dicen que el primero en proponerla fue Christian Wolff en 1724.
El descubrimiento de Urano por William Herschel en 1781, que estaba a 19,18UA, no hizo más que confirmar la ley publicada solo tres años antes y llevó a que en el quinto lugar a 2,8UA faltara un planeta. En el congreso astronómico que tuvo lugar en Gotha, Alemania, en 1796, el francés Joseph Lalande recomendó su búsqueda. Entre cinco astrónomos se repartieron el zodiaco en la búsqueda del quinto planeta y finalmente el 1 de enero de 1801, en el Observatorio de Palermo el monje Giuseppe Piazzi, que no pertenecía a la comisión de búsqueda, descubrió Ceres, el primero de los asteroides. El día 3 de enero el cuerpo se había desplazado un tercio de luna hacia el oeste. Hasta el24 no publicó su descubrimiento, creyendo que era un cometa. Carl Friedrich Gauss, el gran matemático, inventó ex profeso para Ceres un procedimiento de cálculo de la órbita con tal de aprovechar los pocos datos de la órbita conseguidos por Piazzi. Calculada su órbita, resultó un cuerpo que orbitaba entre Marte y Júpiter; es decir, el cuerpo que faltaba según la ley de Bode.
La ley de Bode, aun pudiendo ser solo una curiosidad matemática, tuvo una gran importancia en el desarrollo de la Astronomía de finales del y principios del .
Ley de Titius-Bode. Su paradójico origen y curso posteriorDr. Ramon Parés. Distancias planetarias y Ley de Titius-Bode (Ensayo histórico) www.ramonpares.com Johann Daniel Titius (1729-1796), profesor de física de la antigua Universidad de Wittenberg (Sajonia) tradujo al alemán la obra Contemplation de la Nature, del autor suizo Charles Bonnet (1720-1793).
Sin decir nada a nadie, Titius intercaló dos parágrafos propios que se encuentran al final de la página7 y al comienzo de la8 en la edición alemana de 1766. En el prefacio, Bonnet advierte sin precisar que Titius ha intercalado algunas notas propias, lo cual hace suponer no solo su conocimiento, sino también su conformidad. Por supuesto, el parágrafo nuevo intercalado no se halla ni en el original ni en las traducciones de la obra de Bonnet al italiano y al inglés.
En el texto intercalado a que nos referimos hay dos partes, una a continuación de la otra. En la primera se expone la sucesión de las distancias planetarias al Sol de los planetas históricos, desde Mercurio a Saturno, redondeadas a números enteros y es como sigue: Si damos 100puntos a Saturno y 4 a Mercurio, a Venus corresponderán 4+3 = 7 puntos; a la Tierra 4+6 = 10; a Marte, 4+12 = 16; al siguiente serían 4+24 = 28, pero no hay planeta; y serán 4+48 = 52puntos y 4+96 = 100 puntos respectivamente, para Júpiter los primeros y para Saturno los segundos.
En la segunda parte intercalada se añade: Si al radio de la órbita de la Tierra le damos el valor de 10, los radios de las otras órbitas vendrán dados por la fórmula Rn = 4 + (3 * 2n), siendo n = -∞ para Mercurio y 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para los planetas que le siguen.
Estos dos enunciados, por toda su particular tipología y los de los radios de las órbitas, parecen derivarse de una antigualla cosista.Los cosistas eran expertos en todo tipo de cálculos, y tanto comerciantes como empresarios los contrataban para resolver complicados problemas de contabilidad. Su apelativo deriva de la palabra italiana cosa porque usaban símbolos para representar los valores desconocidos, de manera similar al uso que los matemáticos hacen hoy en día de x. Todos los profesionales de la resolución de problemas en esta época inventaron sus propios y astutos procedimientos para realizar cálculos, e hicieron todo lo posible por guardar esos métodos en secreto y mantener así la fama de ser las únicas personas capaces de resolver determinados problemas. De hecho, se han ido encontrando muchos precedentes de hasta el . Titius fue discípulo del filósofo alemán Christian Freiherr von Wolf (1679-1754), y la segunda parte del texto intercalado en la obra de Bonnet se encuentra también textualmente en una obra de von Wolf de 1723, Vernünftige Gedanken von den Wirkungen der Natur. Por esto, en la bibliografía del sobre la ley de Titius-Bode, suele asignarse la autoría al filósofo alemán; de ser así, Titius lo hubiera podido aprender de él. Otra referencia más antigua es la de James Gregory de 1702, en sus Astronomiae physicae et geometricae elementa, donde la sucesión de distancias planetarias 4, 7, 10, 16, 52 y 100 se convierte en una progresión geométrica de razón2. Es la fórmula newtoniana más cercana, que está también en Benjamin Martin y en el propio Tomás Cerdá muchos años antes de la publicación alemana del libro de Bonnet.
El texto intercalado por Titius en el libro de Bonnet sí que se transmitió exactamente en la obra de astronomía de Johann Elert Bode (1747-1826). En ninguna de sus ediciones se habla de Titius, sin asignarse claramente la autoría de la ley (Aleitung zur kenntnis des gestirnten Himmels, 1722). En una memoria póstuma de Bode sí que se ha encontrado una referencia a Titius con el reconocimiento claro de su prioridad.
Titius y Bode esperaban que la ley llevaría al descubrimiento de nuevos planetas. En realidad no fue así. El de Urano y Ceres más bien contribuyó a dar fama a la Ley de Titius-Bode, pero no así al descubrimiento de Neptuno y Plutón, pues quedan excluidos. No obstante, se aplica a los satélites y ahora incluso a los planetas extrasolares.
Una explicación que podría ser anterior a la ley de Titius-Bode El jesuita Tomás Cerdá (1715-1791) dio un célebre curso de astronomía en Barcelona en 1760, en la Real Cátedra de Matemáticas del Colegio de San Jaime de Cordelles (Imperial y Real Seminario de Nobles de Cordellas). Del manuscrito original conservado en la Real Academia de la Historia de Madrid, Lluís Gasiot rehízo el Tratado de Astronomía de Cerdá, publicado en 1999, y el cual se basa en los Astronomiae physicae de James Gregory (1702) y en la Philosophia Britannica de Benjamin Martin (1747). En el Tratado de Cerdá podemos encontrar las distancias planetarias obtenidas a partir de los tiempos periódicos y aplicando la tercera ley de Kepler, con una precisión de 0,001. Tomando de referencia la distancia de la Tierra como10 y redondeando a enteros, puede establecerse la progresión geométrica [(Dn x 10) – 4] / [Dn-1 x 10) – 4] = 2, desde n=2 a n=8. Utilizando el movimiento circular uniforme ficticio equivalente de la Anomalía de Kepler, pueden obtenerse los valores Rn de los radios correspondientes a cada planeta, con los cuales pueden obtenerse las razones rn = (Rn – R1) / (Rn-1 – R1) que resultan ser 1,82; 1,84; 1,86; 1,88 y 1,90, con lo cual rn = 2 – 0,02 (12 – n) que es la relación entre la sucesión kepleriana y la Ley de Titius-Bode, la cual sería una coincidencia numérica casual. La razón es próxima a 2, pero en realidad va aumentando armónicamente desde 1,82.
La velocidad media de los planetas desde n=1 a n=8 disminuye al alejarse del Sol y difiere del descenso uniforme en n=2 para recuperarlo a partir de n=7 (resonancia orbital).
La ley de Bode en el sistema solar Para el sistema solar la distancia de los planetas al Sol en UAs es, según la ley de Titius-Bode:
donde k = 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... = 0,20, 21, 22, 23...
Las distancias de los planetas calculados por la ley de Bode comparadas con las reales son:
Planetak Distancia ley T-B Distancia real Error %Mercurio00,40,392,5%Venus10,70,722,78%Tierra21,01,000%Marte41,61,525,3%Ceres182,82,771,1%Júpiter165,25,200%Saturno3210,09,544.8%Urano6419,619,22%Neptuno128 38.830,0629.08%Plutón225677.239,4495.75%
1 Ceres es el mayor objeto perteneciente al cinturón de asteroides, y tiene que ser considerado un planeta para cubrir el hueco de k=8; por lo tanto, es el número tomado como referencia para la distancia al Sol (2,77UA). Durante aproximadamente 70años después de su descubrimiento fue considerado el quinto planeta del sistema solar, pero después del avistamiento de otros objetos de gran tamaño, pasó a ser denominado el asteroide más grande del Cinturón. En 2006 se le dio categoría de planeta enano.
2 Plutón fue excluido de la categoría de planeta tras la Redefinición de planeta de 2006. Al igual que Ceres es considerado actualmente un planeta enano.
Ley de Bode generalizada (Formulación tradicional) Para generalizar la ley de Bode asignamos una letra a cada parámetro:
donde: es la distancia de la estrella al planeta , sería la distancia del primer planeta a la estrella (como en el sistema solar), sería un parámetro ajustable, y es un valor que será diferente para cada planeta (estará en función de ).
En el caso del sistema solar se podría generalizar k por tanto como:
Hay que destacar que para (Es decir, para el primer planeta) el valor de es 0, lo que supone una excepción.
Otra forma de expresar la ley de Bode
con n=2, 3, 4....
Para el caso n=2 a=0,4
Despreciando el 0,4 y colocando unos valores a ajustar:
Tomando logaritmos:
y operando:
Es decir, tomando logaritmos de las distancias, podemos ajustar por mínimos cuadrados a una recta.
Para los planetas exteriores, si los logaritmos de las distancias siguen una progresión aritmética es porque las distancias siguen una progresión geométrica. Bode pensaba que la razón de la progresión geométrica era 2, pero cuando se hace el ajuste resulta ser solamente 1,71.
El resultado es, considerando a Plutón y tomando como unidad de distancia el km: con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 y una correlación r=0,9971.
Para expresarlo en logaritmos neperianos hay que multiplicar por 1/M=2,30258 resulta: con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 así que las distancias: con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Si usamos la unidad astronómica con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
El cambio, en la unidad no cambia la pendiente ni la correlación, pero la ordenada en el origen queda disminuida en:
así 7,5119-8,1749=-0,6630
Así: con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Por lo que:
con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Así que:
con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
y comparado ley de Bode clásica: con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Queda claro que el error de Bode era pensar que cada planeta está al doble de la distancia, cuando en realidad es solo de 1,71 veces. thumb|400px|Ajuste lineal logarítmico a las distancias de los planetas del sistema solar. Se pueden comparar ambas leyes con los valores reales:
Denominación n a (U.A.) a Bode a (log) Mercurio 1 0,387 0,4 0,372 Venus 2 0,723 0,7 0,636 Tierra 3 1,000 1 1,087 Marte 4 1,523 1,6 1,859 Ceres1 5 2,767 2,8 3,179 Júpiter 6 5,203 5,2 5,437 Saturno 7 9,539 10 9,299 Urano 8 19,184 19,6 15,903 Neptuno 9 30,060 n/a2 27,198 Plutón 10 39,759 38,8 46,514 Sedna1 11 76,361 154 79.542
Esta nueva manera de ver las cosas tiene varias ventajas: El primer término de la sucesión (Mercurio) siempre era especial; ahora es uno más.