Riemannin–Stieltjesin integraali on eräs Riemannin integraalin yleistys. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.
Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa , missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi. Integraali voi myös olla muotoa .
Määritelmä
Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa , missä
a= ≤ ≤ ≤ = b.
Merkitään
= , missä (i = 1, , n).
Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan
= sup f(x) ( ≤ x ≤ )
= inf f(x) ( ≤ x ≤ ).
Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä
α = α() - α().
On selvää, että α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan
U (P, f, α) = ,
L (P, f, α) = .
Jos
,
missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään
tai . Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi :n suhteen yli välin [a,b].
Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin
Merkitsemällä nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:
.
Yleisissä tapauksissa :n ei tarvitse olla jatkuva.
Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia
Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia. Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.
Muuttujan vaihto
Olkoon funktio välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti
,
jos . Silloin funktio välillä S ja .
Lineaariominaisuudet
Jos ja välillä [a,b], niin
välillä [a,b] ja
.
Katso myös Lebesgue–Stieltjes-integraali
Lähteet
Rudin W., Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, 1953 Laitinen T., Riemann-Stieltjes-integraali, Pro gradu -työ, 2006
Kirjallisuutta
Luokka:Integraalilaskenta