Osittaisfunktio on funktion yleistys, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon enintään yhden maalijoukon alkion, jota merkitään , jos tämä :n liitettävä alkio on olemassa. Kyseessä on siis tavallisen funktion yleistys, sillä tavallinen funktio liittää jokaiseen joukon alkioon tarkalleen yhden joukon alkion , mutta funktion osittaisuus sallii sen, että joillakin :n alkioilla tällaista siihen -liitettävää -joukon alkiota ei ole. ("liitettäviä on nyt yhden sijaan nolla kappaletta.") Tällaisilla alkioilla sanotaan, että ei ole määritelty, ja toisinaan tämä ilmoitetaan merkinnällä
.
Niitä joukon alkioita, joilla on määritelty, kutsutaan yhdessä funktion määrittelyjoukoksi, jota voidaan merkitä esimerkiksi symbolilla . Tavallisilla funktioilla eli määrittelyjoukko ja lähtöjoukko yhtyvät, mutta yleensä eli määrittelyjoukko on pienempi ja sallittua on myös sekin, että eli ei ole määritelty missään joukon pisteessä.
Esimerkkejä
1)
Funktio , joka on määritelty niin, että ja eli arvoilla ja funktio ei ole määritelty.
2)
Funktio , missä , on määritelty tarkalleen silloin, kun on neliö eli kuuluu joukkoon , sillä tarkalleen tällöin neliöjuuri kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, joka on nyt otettu maalijoukoksi.
3)
Laskennan teoriassa funktioita lasketaan Turingin koneella niin, että syötteellä kone suoritettuaan äärellisen määrän laskenta-askelia kirjoittaa tulosteen, joka määritellään käytetyn Turingin koneen määräämän funktion -arvoksi. Kuitenkin useilla Turingin koneilla käy niin, että joillakin syötteillä alkanut laskenta ei pysähdy koskaan, tuloste jää näin saamatta ja jää siis määrittelemättömäksi kyseisellä koneella näillä syötteillä.
Luokka:Funktiot