Käänteislukufunktio

pienoiskuva|Funktion y = 1/x kuvaaja arvoille, jolloin x ei ole 0. Kuvaaja on hyperbeli. Sen jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit x ja y ovat toistensa käänteislukuja. Käänteislukufunktion arvot muodostetaan ottamalla annetun luvun käänteisluku. Koska nollan käänteislukua ei ole olemassa, saadaan reaalilukufunktion muodolliseksi määritelmäksi

Kuvaus voidaan suorittaa kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Koulumatematiikassa sama ilmaistaan useimmiten

Määrittelyjoukko on siis kaikki reaaliluvut paitsi nolla. Funktio voidaan määritellä myös muilla lukualueilla ja niistä tarkemmin myöhemmin.

Käänteislukufunktio on erikoistapaus potenssifunktioista, jossa (kun ja )

Käänteislukufunktion arvon määrittäminen Kokonais- ja rationaaliluku Kokonaisluvun käänteisluku on yksikkömurtoluku. Se on rationaali- eli murtoluvun käänteisluvun erikoistapaus. Kokonaisluvun ja murtoluvun käänteisluku lasketaan käyttäen kokonais- ja murtolukujen jakolaskun ominaisuuksia hyväksi:

ja

Reaaliluku Yleisesti ottaen reaaliluvun käänteisluvun laskeminen ei ole helppo tehtävä. Se voidaan aina merkitä lausekeella , mutta sen numeerisen arvon laskemieen esimerkiksi laskimessa tarvitaan iteroiva algoritmi.

Kompleksiluku Kompleksiluvun käänteisluvun laskemiseen käytetään kompleksilukujen ja jakolaskun ominaisuuksia:

Kun ja saadaan

missä on luvun liittoluku eli konjugaattiluku. Tulos voidaan ilmaista myös kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan avulla:

Jos reaali- ja imaginaariosat ovat reaalilukuja, käänteisluvun numeerinen arvo lasketaan reaalilukujen tapaan.

Yleisiä ominaisuuksia Monotonisuus ja nollakohdat Derivaattafunktion merkistä voi päätellä, että käänteislukufunktio on monotoninen ja vieläpä aidosti vähenevä välillä, joka mahtuu määrittelyjoukoonsa. Funktiolla ei ole nollakohtia.

Symmetrisyys ja parittomuus Käänteislukufunktiolla on potenssiesityksessä pariton eksponentti

joten se kuuluu parittomiin funktioihin. Parittomalle funktiolla vastaluvut antavat tulokseksi vastaluvut

Kuvaajat ovatkin origosymmetrisiä eli funktion kuvaajan jokaiselle pisteelle löytyy yhtä kaukana origon takana toinen funktion kuvaajan vastinpiste.

Derivaatta ja integraali Reaalifunktion derivaattafunktio on

ja integraalifunktio

kun ja

Raja-arvot Reaalifunktion arvot pienenevät, kun arvot kasvavat. Funktion raja-arvot ovat

Funktion epäoleelliset toispuoliset raja-arvot, kun lähestytään nollaa oikealta, on

ja kun lähestytään nollaa vasemmalta on

Katso myös Kääntäen verrannollisuus Hyperbeli

Lähteet ja viitteet

Luokka:Analyysi Luokka:Funktiot