Matematiikassa äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu on lause, jonka mukaan jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä kuuluu johonkin alla olevista neljästä pääkategoriasta. Nämä ryhmät voidaan nähdä samanlaisina perusrakennuspaloina kuin alkuluvut toimivat ykköstä suuremmille kokonaisluvuille. Jordanin–Hölderin lause on tarkempi tapa ilmaista tämä äärellisten ryhmien ominaisuus. Kuitenkin luokittelulauseella ja alkutekijöihinjaolla on merkittävä eroavaisuus, sillä tällaiset "rakennuspalikat" eivät välttämättä määritä ryhmää yksikäsitteisesti, sillä on olemassa epäisomorfisia ryhmiä, joilla on sama kompositiojono. Toisin sanoen ryhmien laajentaminen ei ole yksikäsitteistä.
Luokittelulauseen todistus on kymmeniä tuhansia sivuja pitkä ja se on julkaistu useissa sadoissa osissa eri julkaisuissa. Yli sata henkilöä on osallistunut julkaisujen kirjoittamiseen. Suurin osa julkaisuista on kirjoitettu vuosien 1955 ja 2004 välillä. Daniel Gorenstein, Richard Lyons ja Ronald Solomon ovat vähitellen julkaisemassa yksinkertaistettua todistusta.
Mitä luokittelulause sanoo? Luokittelulause kuuluu seuraavasti: Jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä on isomorfinen jonkun seuraavista ryhmistä kanssa:
Syklinen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluku. Alternoiva ryhmä, jonka aste on vähintään viisi. Lien tyyppinen yksinkertainen ryhmä. Tämän tyyppisiä ryhmiä on kaksi erilaista: Klassiset Lien ryhmät eli yksinkertaiset ryhmät, jotka liittyvät projektiiviseen spesiaaliseen lineaariseen ryhmään, unitaariseen ryhmään, symplektiseen tai ortogonaaliseen äärellisen kunnan muunnoksiin. Chevalleyn ja Steinbergin ryhmät, joita kutsutaan myös nimillä poikkeukselliset ja kieroutuneet Lien tyyppiset ryhmät. Näihin kuuluu myös Titsin ryhmä. 26 sporadista yksinkertaista ryhmää, jotka ovat (tai tarkoittaa, että samalla ryhmällä on vaihtoehtoisia merkintätapoja): Mathieun ryhmät M11, M12, M22, M23, M24 Jankon ryhmät J1, J2 tai HJ, J3 tai HJM, J4 Conwayn ryhmät Co1 tai F2−, Co2, Co3 Fischerin ryhmät Fi22, Fi23, Fi24′ tai F3+ Higmanin–Simsin ryhmä HS McLaughlinin ryhmä McL Heldin ryhmä He tai F7+ tai F7 Rudvalisin ryhmä Ru Suzukin sporadinen ryhmä Suz tai F3− O'Nanin ryhmä O'N Haradan–Nortonin ryhmä HN tai F5+ tai F5 Lyonsin ryhmä Ly Thompsonin ryhmä Th tai F3|3 tai F3 Vauva-monsteri ryhmä B tai F2+ tai F2 Fischerin–Griessin monsteriryhmä M tai F1
Luokittelulauseella on sovelluksia monilla matematiikan osa-alueilla, sillä äärellisten ryhmien rakenne ja niiden toiminta muiden matemaattisten objektien kanssa voidaan toisinaan palauttaa äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä koskevaksi. Luokittelulauseen ansiosta kysymyksiin voidaan vastata tutkimalla yksinkertaisten ja sporadisten ryhmien joukkoa.
Vuonna 1983 Daniel Gorenstein ilmoitti, että äärelliset yksinkertaiset ryhmät on luokiteltu, mutta tämä johtui siitä, että hän oli saanut väärää tietoa kvasiohuiden ryhmien luokittelusta. Nämä ryhmät onnistuttiin luokittelemaan vuonna 2004, kun Aschbacher ja Smith julkaisivat 1221-sivuisen todistuksenAschbacher M., Smith S. D. The Classification of Quasithin Groups: II. Main Theorems: The Classification of Simple QTKE-groups (2004) kyseisille ryhmille.
Luokittelulauseen yleiskuva Gorenstein kirjoitti kaksi nidettäGorenstein, D. (1982), Finite simple groups, University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., , MR 698782Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, The University Series in Mathematics, Plenum Press, , MR 746470, joissa on hahmoteltu niiden ryhmien luokittelu, joiden karakteristika on pariton tai rankki on pieni. Michael Aschbacher, Richard Lyons ja Stephen D. Smith et al.Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, Mathematical Surveys and Monographs 172, kirjoittivat kolmannen niteen, jossa on käsitelty jäljelle jäävä karakteristikan kaksi tapaus. Todistus voidaan jakaa useaan pääosaan seuraavasti:
Ryhmät, joiden 2-rankki on pieni Koska "suurin osa" äärellisistä yksinkertaisista ryhmistä on matriisiryhmiä äärellisten kuntien suhteen, aikainen tulos, jotka koettivat hahmotella äärellisten ryhmien luokitteluongelman todistusta oli dikotomialause. Sen mukaan yksinkertainen ryhmä on joko komponenttityyppinen tai karakteristikan kaksi tyyppinen tai sen 2-aliryhmien rankki on enintään kaksi. Jos 2-aliryhmien rankki on enintään kaksi, niin ryhmä muistuttaa ryhmää paritonta kertalukua olevan kunnan suhteen ja karakteristikan kaksi tyyppinen ryhmä muistuttaa ryhmää karakteristikaa kaksi olevan kunnan suhteen.
Yksinkertaiset ryhmät, joiden 2-rankki on pieni, ovat useimmiten Lien tyyppisiä ryhmiä paritonta karakteristikaa olevan kunnan suhteen. Tällainen ryhmä voi olla myös alternoiva (viisi tapausta), karakteristikan kaksi tyyppinen (seitsemän tapausta) tai sporadinen ryhmä (yhdeksän tapausta).
Yksinkertaiset ryhmät, joiden 2-rankki on pieni, ovat: Ryhmät, joiden 2-rankki on 0. Toisin sanoen ryhmät, joiden kertaluku on pariton. Tämä ovat ratkeavia Feitin–Thompsonin lauseen nojalla. Ryhmät, joiden 2-rankki on 1. Näiden Sylowin 2-aliryhmät ovat joko syklisiä tai yleistettyjä kvaternioita. Syklinen tapaus on helppo käsitellä muunnoskuvauksen avulla ja kvaternioiden tapauksessa voidaan käyttää Brauerin–Suzukin lausetta, josta seuraa, että ei ole olemassa yksinkertaista ryhmää, jonka 2-rankki on yksi. Ryhmät, joiden 2-rankki on 2. Alperin osoitti, että Sylowin aliryhmän on oltava dihedraalinen, kvasihedraalinen, köynnöstulo tai ryhmän U3(4) Sylowin 2-aliryhmä. Ensimmäinen tapaus seuraa Gorensteinin–Walterin lauseesta, jonka avulla saadaan, että ainoat yksinkertaiset ryhmät ovat isomorfisia ryhmän L2(q) kanssa jollakin parittomalla luvulla q tai A7. Toinen ja kolmas tapaus seuraa Alperinin–Brauerin–Gorensteinin lauseesta, josta seuraa, että ainoat yksinkertaiset ryhmät ovat isomorfisia joko L3(q):n, U3(q):n tai M11:n kanssa jollakin parittomalla luvulla q. Ryhmät, joiden sektionaalinen 2-rankki on korkeintaan 4. Nämä ryhmät voidaan luokitella Gorensteinin–Haradan teoreeman avulla. Pienen 2-rankin omaavien ryhmien luokittelussa käytetään paljon tavallista ja modulaarista karakterien teoriaa eikä näitä teorioita käytetä melkein missään muualla luokittelussa. Erityisesti tämä korostuu tapauksissa, jossa 2-rankki on korkeintaan kaksi.
Kaikki ryhmät, joiden 2-rankki ei ole pieni, voidaan jakaa kahteen tapaukseen: komponenttityyppiset ryhmä ja karakteristikaa kaksi tyyppiset ryhmät. Tämä seuraa siitä, että jos ryhmällä on sektionaalinen 2-rankki vähintään viisi, on MacWilliams osoittanut, että tällaisen ryhmän 2-aliryhmät ovat yhtenäisiä, jolloin balanssilauseen mukaan kaikki yksinkertaiset ryhmät, joiden Sylowin 2-aliryhmät ovat yhtenäisiä, ovat yksinkertaisia. Ryhmille, joiden 2-rankki on pieni, todistus ei päde koska esimerkiksi signalisoivan funktorin lause toimii vain niille ryhmille, joiden elementaariset Abelin aliryhmät ovat vähintään rankkia kolme.
Komponenttityyppiset ryhmät Ryhmän sanotaan olevan komponenttityyppinen, jos jollakin involuution keskittäjällä C, ryhmällä C/O(C) on komponentti (missä O(C) on C:n ydin, paritonta kertalukua oleva maksimaalinen normaali aliryhmä). Komponenttityyppisiin äärellisiin yksinkertaisiin ryhmiin sisältyy useimmat Lien tyyppiset paritonta karakteristikaa olevat Chevalleyn ryhmät, useimmat alternoivat ryhmät ja monet sporadiset yksinkertaiset ryhmät.http://math.stackexchange.com/questions/495528/are-groups-of-component-type-always-of-lie-type-alternating-or-sporadic/495587?noredirect=1#495587 Tämän tapauksen suurin askel on eliminoida involuution ytimen tukos. Tämä voidaan tehdä niin sanotun B-teoreeman avulla, jonka mukaan jokainen C/O(C):n komponentti on C:n komponentin kuva.
Ideana on, että näillä ryhmillä on involuution keskittäjänä komponentti, joka on pienempi kvasiyksinkertainen ryhmä, joka voidaan olettaa tunnetuksi induktion avulla. Siten luokitellakseen nämä ryhmät otetaan kaikki keskustamaiset laajennukset jokaisesta tunnetusta äärellisestä yksinkertaisesta ryhmästä ja etsitään kaikki yksinkertaiset ryhmät, joiden involuution keskittäjä on komponenttina. Tämä antaa suuren määrän eri tapauksia tarkastettavaksi. Ei ole pelkästään 26 sporadista ryhmää ja 16 perhettä Lien tyyppisiä ja alternoivia ryhmiä, vaan myös suuri joukko ryhmiä, joiden rankki on pieni tai jotka käyttäytyvät eri tavalla tarkasteltuna pienten kuntien suhteen. Nämä on käsiteltävä erikseen. Lisäksi Lien tyyppisten ryhmien tarkastelu parittoman ja parillisen karakteristikan tapauksessa on aika erilaista.
Komponenttityyppisen ryhmän luokittelua kutsutaan myös parittomaksi tapaukseksi. Tämä perustui Aschbacherin mielikuvaan standardimuotoa olevasta kvasiyksinkertaisesta komponentista L, missä ryhmän G keskittäjällä on kertalukua kaksi oleva alkio t. Aschbacher ja muut tutkijat käsittelivät erilaisia mahdollisia komponentteja L. Parillinen eli karakteristikan 2-tyyppinen tapauksessa käsiteltiin analogisia menetelmiä, missä t korvattiin paritonta alkulukukertalukua p olevalla alkiolla. Tässä alkuperäinen "pieni" tapaus vastasi kvasiohuita ryhmiä G, nimittäin tarvittavien p-aliryhmien rankki on korkeintaan kaksi. Tämä tapaus on hyvin monimutkainen ja sen käsitteli pitkässä artikkelissaan Aschbacher ja Smith.
Kvasiohuet ryhmät Thompson esittely ryhmän leveyden mitalle suureen joka on maksimaalinen rankki paritonta kertalukua olevan ryhmän Abelin aliryhmälle, joka normalisoi :n epätriviaalin 2-aliryhmän. Nyt on kvasiohut, jos http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01071-2/S0273-0979-05-01071-2.pdf The classification of quasithin groups I, II, by Michael Aschbacher and Stephen D. Smith, Mathematical Surveys and Monographs, vols. 111–112, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, 1221 pp., US$228.00, (Vol. 111), 0-8218-3411-8 (Vol. 112) arvostelu
Aschbacherin ja Smithin mukaan (2004b, teoreema 0.1.1), äärellinen yksinkertainen parillista karakteristikaa oleva kvasiohut ryhmä on
Lien tyyppinen karakteristikaa kaksi ja rankkia 1 tai 2 oleva, pois lukien tapaus . PSL4(2), PSL5(2), Sp6(2) Alternoiva ryhmä, jossa on 5, 6, 8 tai 9 alkiota. PSL2(p) kun p on Fermat'n tai Mersennen alkuluku, Mathieun ryhmä M11, M12, M22, M23, M24, Jankon ryhmä J2, J3, J4, Higmanin–Simsin ryhmä, Heldin ryhmä ja Rudvalisin ryhmä.
Jos ehto "parillinen karakteristika" heikennetään muotoon "parillistyyppinen" (Gorensteinin–Lyonsin–Solomonin tarkistus luokittelusta), niin ainoa uusi kvasiohut ryhmä äärellisten yksinkertaisten ryhmien listaan on Jankon ryhmä J1.
Ryhmät, joiden karakteristika on tyyppiä 2 Ryhmä on karakteristikan kaksi tyyppinen, jos yleistetty Fittingin aliryhmä F*(Y) jokaiselle 2-lokaalille aliryhmälle Y on 2-ryhmä. Kuten nimestä voi päätellä, nämä ovat suurin piirtein Lien tyyppiset ryhmät yli karakteristikaa kaksi olevien kuntien sekä hankalasti käsiteltäviä toisia ryhmiä, jota ovat alternoivia tai sporadisia tai paritonta karakteristikaa. Näiden luokittelu on jaettu pienten ja suurten rankkien tapauksiin, missä rankilla tarkoitetaan suurinta rankkia parittomalle Abelin aliryhmälle, joka normalisoi epätriviaalin 2-aliryhmä, joka on usein (mutta ei aina) sama kun Cartanin alialgebran rankki kun ryhmä on Lien tyyppinen ryhmä, jonka karakteristika on kaksi.
Rankkia yksi olevat ryhmät ovat ohuita ryhmiä, jotka on luokitellut Aschbacher, ja rankkia kaksi olevat ryhmät ovat pahamaineiset kvasiohuet ryhmät, jotka luokitteli Aschbacher ja Smith. Nämä vastaavat karkeasti Lien tyyppisiä ryhmiä karakteristikaa kaksi olevassa kunnassa, joiden rankki on yksi tai kaksi.
Ne ryhmät, joiden rankki on vähintään kolme jaetaan edelleen kolmeen luokkaan trikotomialauseen avulla, jonka todisti Aschbacher rankin kolme tapauksessa ja Gorenstein sekä Lyons kun rankki on vähintään neljä.