Hilbertin ongelmat on 23 matemaattisen ongelman luettelo, jotka saksalainen matemaatikko David Hilbert esitteli Pariisin matemaatikkokonferenssissa vuonna 1900. Tarkkaan ottaen konferenssiesitelmässä olivat ongelmat nro 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ja 22; täydellinen luettelo julkaistiin myöhemmin.
Luettelo probleemoista
Hilbertin 23 probleemaa olivat seuraavat:
Numero Lyhyt selostus Nykyinen tila Ratkaistu vuonna 1. Kontinuumihypoteesi: onko olemassa joukkoja, joiden mahtavuus (kardinaliteetti) on aidosti suurempi kuin kokonaislukujen joukon mutta aidosti pienempi kuin reaalilukujen joukon? 1963 2. Lukuteorian aksioomien todistaminen ristiriidattomaksi. 1936? 3. Voidaanko kahdesta tilavuudeltaan yhtäsuuresta monitahokkaasta toinen aina jakaa äärelliseen määrään osia siten, että kokoamalla ne yhteen toisella tavalla niistä voidaan saada toinen alkuperäisistä monitahokkaista? 1900 4. Kaikkien sellaisten metriikkojen konstruointi, joissa viivat ovat geodeettisia viivoja Liian epämääräisesti muotoiltu, jotta voitaisiin sanoa, onko ratkaisu vai ei. – 5. Ovatko kaikki jatkuvat ryhmät samalla Lien ryhmiä? 1953? 6. Koko fysiikan aksiomatisointi – 7. Onko a b aina transkendenttiluku, jos a on algebrallinen mutta ei 0 eikä 1 ja b irrationaalinen algebrallinen luku? 1935 8. Riemannin hypoteesi: onko Riemannin zeeta-funktion kaikkien epätriviaalien nollakohtien reaaliosa ½? Lisäksi muita alkulukuihin liittyviä ongelmia kuten Goldbachin konjektuuri ja onko alkulukupareja äärettömän monta. – 9. Etsittävä mahdollisimman yleinen muoto neliönjäännöslauseelle missä tahansa algebrallisessa lukukunnassa – 10. Etsittävä algoritmi, jolla mistä tahansa polynomimuotoisesta kokonaislukukertoimisesta Diofantoksen yhtälöstä voidaan selvittää, onko sillä kokonaislukuratkaisuja. 1970 11. Neliömuotojen ratkaiseminen algebrallisten numeeristen kerrointen avulla. – 12. Rationaalilukujen joukon Abelin laajennuksia koskevan Kroneckerin–Weberin lauseen yleistäminen koskemaan mitä tahansa kantana käytettävää lukujoukkoa. – 13. Voidaanko kaikki seitsemännen asteen yhtälöt ratkaista käyttämällä kahden muuttujan jatkuvia funktioita? 1957 14. Onko polynomirenkaan algebrallisen ryhmän invarianttiryhmä aina äärellisesti generoitu?Ratkaistu. Tulos: ei ole, Masayoshi Nagata konstruoi vastaesimerkin. 1959 15. Schubertin enumeratiivisen kalkyylin täsmällinen perusta. – 16. Miten reaalisen algebrallisen käyrän ja rajaympyrän ovaalit sijoittuvat toistensa suhteen tasossa? – 17. Definiittisten rationaalifunktioiden esittäminen neliöiden summien osamääränä 1927 18. (a) Onko olemassa monitahokas, jollaisilla kolmiulotteinen avaruus voidaan täyttää vain anisohedraalisesti (niin, etteivät eri monitahokkaiden särmät ole yhdensuuntaisia)? (b) Mikä on tiivein tapa, jolla tila voidaan täyttää palloilla? (a) 1928 (b) 1998 19. Ovatko Lagrangen optimointitehtävien ratkaisut aina analyyttisia funktioita? 1957 20. Onko kaikilla tietyt reunaehdot täyttävillä variaatiolaskennan probleemoilla ratkaisu? – 21. Onko aina olemassa lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolla on annettu monodromiryhmä? – 22. Analyyttisten relaatioiden yhtenäistäminen automorfifunktioiden avulla – 23. Variaatiolaskennan jatkokehitys –
Huomautukset
Lähteet
Aiheesta muualla
Luokka:Ratkaisemattomat matemaattiset ongelmat Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit