Momentti on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty tunnusluku, joka luonnehtii jakaumaa erityisellä tavalla. Yleisimmät momentit sisältyvät origomomentteihin, keskusmomentteihin ja tekijämomentteihin. Kuhunkin ryhmään sisältyy numeroituvasti ääretön määrä erilaisia momentteja.
Momentti eli origomomentti Tavallinen momentti eli origomomentti määritellään diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa
Kun satunnaismuuttujalla on perusjoukossaan vain äärellinen määrä arvoja, voidaan momentti aina laskea. Mikäli perusjoukossa on numeroituvasti ääretön määrä arvoja, saadaan summa laskettua, mikäli se suppenee itseisesti.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa momentti lasketaan
mikäli epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Origomomentti voidaan merkitä myös
Kullekin eksponentin positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä momentti . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään :t ovat vaihtoehtoisia merkintöjä) jota kutsutaan odotusarvoksi. jota kutsutaan toiseksi momentiksi. jota kutsutaan kolmanneksi momentiksi. jota kutsutaan n:nneksi momentiksi.
Vastaavasti voidaan määritellä momentit diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa. Eräs tapa tuottaa jakauman kaikki momentit on käyttää momenttifunktiota. Se määritellään diskreetissä tapauksessa
ja jatkuvassa tapauksessa
missä ...,,.. ovat origomomentteja. Siitä voidaan laskea n:n momentin arvo derivoimalla momenttifunktio n kertaa ja sijoittamalla siihen
Keskusmomentti Keskusmomentilla, keskimomentilla eli keskeisellä momentilla tarkoitetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon erotuksen momenttia. Se määritellään diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa
Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa keskusmomentti lasketaan
mikäli summa suppenee itseisesti tai epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Keskusmomentti voidaan merkitä myös
Kullekin eksponentin positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä keskusmomentti . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään
jota kutsutaan varianssiksi. jota kutsutaan kolmanneksi keskusmomentiksi eli vinoudeksi. jota kutsutaan neljänneksi keskusmomentiksi eli huipukkuudeksi. jota kutsutaan n:nneksi keskusmomentiksi.
Tekijämomentti Tekijämomentit, joita saadaan esimerkiksi todennäköisyyksiä generoivista funktioista, määritellään seuraavasti
ja tarkemmin diskreetissä tapauksessa
ja jatkuvassa tapauksessa
Kolme ensimmäistä tekijämomenttia ovat (odotusarvo) (varianssi)
Lähteet
Luokka:Todennäköisyyslaskenta Luokka:Tilastotiede