+ Kvasisäännölliset kuviotKolmiot tasasivuisia, (p q 2), 6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel q.pngKuva:CDel node.png = r{p,q}r{4,3}r{5,3}r{6,3}r{7,3}...r{∞,3}6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png60px(3.4)260px(3.5)260px(3.6)260px(3.7)260px(3.∞)2 Kolmiot tasakylkisiä, (p p 3), 9px9px6px = 9px6px6px6px = h{6,p}h{6,4}h{6,5}h{6,6}h{6,7}...h{6,∞}9px6px6px6px6px = 9px9px6px9px6px6px6px6px = 9px9px6px9px6px6px6px6px = 9px9px6px9px6px6px6px6px = 9px9px6px9px6px6px6px6px = 9px9px6px60px(4.3)460px(5.3)560px(6.3)660px(7.3)760px(∞.3)∞ Kolmiot tasakylkisiä, (p p 4), 9px9px9px6px = 9px6px6px6px6px = h{8,p}h{8,3}h{8,5}h{8,6}h{8,7}...h{8,∞}9px6px6px6px6px = 6px9px9px6px9px6px6px6px6px = 6px9px9px6px9px6px6px6px6px = 6px9px9px6px9px6px6px6px6px = 6px9px9px6px9px6px6px6px6px = 6px9px9px6px60px(4.3)360px(4.5)560px(4.6)660px(4.7)760px(4.∞)∞ Kolmiot ei-tasakylkisiä, (5 4 3), 6px9px6px9px9px6px6px9px6px9px9px6px60px(3.5)460px(4.5)360px(3.4)5Kvasisäännöllisissä monitahokkaissa ja laatoituksisa on kahdenlaisia säännöllisiä tahkoja tai laattoja, jotka vuorottelevat jokaisen kärkipisteen ympärillä. Niiden kärkikuviot ovat monikulmioita, joiden kaikki kulmat ovat yhtä suuria.+ Säännölliset ja kvasisäännölliset kuviotKolmiot tasasivuisia, (p p 2), 6px6px6px6px6px = r{p,p} = {p,4}1/2{3,4}1/2r{3,3}{4,4}1/2r{4,4}{5,4}1/2r{5,5}{6,4}1/2r{6,6}...{∞,4}1/2r{∞,∞}6px6px6px6px6px = 6px9px6px6px6px6px6px6px = 6px9px6px6px6px6px6px6px = 6px9px6px6px6px6px6px6px = 6px9px6px6px6px6px6px6px = 6px9px6px60px(3.3)260px(4.4)260px(5.5)260px(6.6)260px(∞.∞)2 Kolmiot tasakylkisiä, (p p 3), 6px9px6px = 6px6px6px|6px6px = {p,6}1/2{3,6}1/2{4,6}1/2{5,6}1/2{6,6}1/2...{∞,6}1/26px6px6px6px9px = 6px6px6px6px6px6px6px9px = 6px6px6px6px6px6px6px9px = 6px6px6px6px6px6px6px9px = 6px6px6px6px6px6px6px9px = 6px6px6px60px(3.3)360px(4.4)360px(5.5)360px(6.6)360px(∞.∞)3 Isosceles triangle domains (p p 4), 6px9px6px9px = 6px6px6px6px6px = {p,8}1/2{3,8}1/2{4,8}1/2{5,8}1/2{6,8}1/2...{∞,8}1/26px6px6px6px90x = 6px9px6px9px6px6px6px6px90x = 6px9px6px9px6px6px6px6px90x = 6px9px6px9px6px6px6px6px90x = 6px9px6px9px6px6px6px6px90x = 6px9px6px9px60px(3.3)460px(4.4)460px(5.5)460px(6.6)460px(∞.∞)4Säännöllistä monitahokasta tai laatoitusta voidaan pitää kvasisäännöllisenä, jos sillä on parillinen määrä tahkoja jokaisen kärjen ympärillä, niin että sen tahkot voidaan värittää vuorottelevin värein. Kvasisäännöllinen monitahokas on semiregulaarinen monitahokas, jolla on sivutahkoina kahdenlaisia säännöllisiä monikulmioita, jotka vuorottelevat monitahokkaan jokaisen kärjen ympärillä. Ne ovat särmätransitiivisia, eli ne voidaan kuvata yhtenevyyskuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa niiden särmistä voi kuvautua mille tahansa toiselle, ja tässä suhteessa ne muistuttavat säännöllisiä monitahokkaita enemmän kuin semiregulaariset monitahokkaat, jotka ovat vain kärkitransitiivisia.
Kvasisäännöllisten monitahokkaiden duaalikappaleita sanotaan myös joskus kvasisäännöllisiksi. Ne kuitenkaan eivät ole kärkitransitiivisia, mutta kylläkin tahkotransitiivisia, ja niissä vuorottelee kaksi erilaista säännöllistä kärkikuviota.
On olemassa vain kaksi kuperaa kvasisäännöllistä monitahokasta, kuboktaedri ja ikosidodekaedri. Nämä Keplerin antamat nimet perustuvat siihen, että edellinen voidaan konstruoida kuutiosta ja sen duaalikappaleesta, oktaedrista, joilla on yhteinen keskipiste jälkimmäinen vastaavasti ikosaedrista ja sen duaalikappaleesta, dodekaedrista. Näissä konstruktioissa kvasisäännöllisen monitahokkaan muodostaa kahden sellaisen säännöllisen monitahokkaan leikkaus eli molempien sisään jäävä avaruuden alue, joilla on yhteinen keskipiste.
Nämä muodot, jotka edustavat säännöllisen kuvion ja sen duaalin muodostamaa paria, voidaan esittää Schläflin symboleilla tai r{p,q}, jotka osoittavat, että niihin sisältyvät sekä säännöllisen monitahokkaan {p,q} että sen duaalikappaleen {q,p} sivut. Tämän symbolin kuvaamalla kvasisäännöllisellä monitahokkaalla on kärkikonfiguraatio p.q.p.q (tai (p.q)2).
Yleisemmin uniformisella kvasisäännöllisellä kuviolla voi olla kärkikonfiguraatio (p.q)r, joka esittää r (2 tai useampaa) tapausta tahkoista kärjen ympärillä.
Myös tason tessellaatiot eli laatoitukset voivat olla kvasisäännöllisiä, erityisesti triheksagonaalinen laatoitus, jonka kärkikonfiguraatio on (3.6)2. Hyperbolisella tasolla on muitakin kvasisäännöllisiä laatoituksia kuten triheptagonaalinen laatoitus, (3.7)2, sekä yleisemmin (p.q)2, missä 1/p+1/q<1/2.
Sellaiset säännölliset monitahokkaat ja laatoitukset, joissa jokaisen kärjen ympärillä on parillinen määrä tahkoja, voidaan myös käsittää kvasisäännöllisiksi jakamalla sellaisetkin sivutahkot, joilla on sama määrä sivuja, kahteen ryhmään, joita käsitellään eri tavalla. Ne voivat esimerkiksi olla eri värisiä. Säännöllinen kuvio, jonka Schläflin symboli on {p,q}, voidaan käsittää kvasisäännölliseksi kärkikonfiguraatiolla (p.p)q/2, jos q on parillinen.
Täten oktaedri voidaan käsittää kvasisäännölliseksi tetratetraedriksi, jossa on osia kahden tetraedrin kolmiomaisista sivutahkoista, (3a.3b)2, värittämällä ne kahdella eri värillä. Samaan tapaan neliölaatoitusta (4a.4b)2, voidaan pitää kvasisäännöllisenä, jos sen ruudut on väritetty kahdella värillä shakkilaudan tavoin. Myös kolmiolaatoituksessa laatat voidaan vastaavalla tavalla värittää kahdella eri värillä, (3a.3b)3.
Wythoffin konstruktio 320pxSäännölliset (p | 2 q) ja kvasisäännölliset monitahokkaat (2 | p q) voidaan konstruoida Wythoffin konstruktiolla käyttämällä lähtökohtana yhtä perusalueen kolmesta kärkipisteestä. Tämä määrittelee perusalueelle yhden erityisen särmän. 400px|thumb|Kvasisäännöllisiä monitahokkaita voidaan muodostaa Shcwarzin kolmioiden perusalueen kaikista kulmista, kun niissä ei ole suoria kulmia:q | 2 p, p | 2 q, 2 | p q
Coxeter määritteli kvasisäännöllisen monitahokkaan sellaiseksi, jonka Wythoffin symboli on muotoa p | q r, ja se on säännöllinen, jos q=2 tai q=r.
Coxeterin–Dynkinin diagrammi on toinen symbolinen esitystapa, joka osoittaa kvasisäännöllisen relaation kahden duaalisen säännöllisen kappaleen välillä: Schläflin symboliCoxeterin diagrammiWythoffin symboli{p,q}6px6pxKuva:CDel node.pngKuva:CDel q.pngKuva:CDel node.pngq | 2 p{q,p}6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel q.pngKuva:CDel node 1.pngp | 2 q r{p,q}6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel q.pngKuva:CDel node.png tai 6px6px6px2 | p q
Kuperat kvasisäännölliset monitahokkaat
Varsinaisia kuperia kvasisäännöllisiä monitahokkaita on kaksi: kuboktaedri ja ikosidodekaedri. Molemmat kuuluvat myös Arkhimedeen kappaleisiin. Lisäksi oktaedria, joka on samalla säännöllinen monitahokas, voidaan pitää myös kvasisäännöllisenä, jos sen sivut väritetään vuorotellen eri väreillä. Tässä muodossa siitä käytetään toisinaan nimitystä tetratetraedri.
Kuperien kvasisäännöllisten monitahokkaiden Schläflin symbolit, kärkikonfiguraatiot, Coxeterin diagrammit ja Wythoffin symbolit (oktaedri mukaan luettuna) ovat seuraavat:
monitahokasSchläflin symboliKärkikonfiguraatioCoxeterin diagrammiWythoffin symboliKuboktaedri2{3,4}(3.4)26px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png 2 | 3 4Ikosidodekaedri2{3,5}(3.5)26px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png 2 | 3 5Oktaedri2{3,3}(3.3)2 6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png 2 | 3 3
Sekä kuboktaedri että ikosidodekaedri ovat samalla kahden keskenään duaalisen säännöllisen monitahokkaan yhteisiä ydinosia. Niiden nimet viittaavat niihin monitahokaspareihin, joista ne voidaan täten muodostaa: sana kuboktaedri on muodostettu lisäämällä sanaan oktaedri etuliite kub-, joka johtuu kuutiota tarkoittavasta sanasta cube, ja vastaavasti sana ikosidodekaedri on yhdistetty sanoista ikosaedri ja dodekaedri. Vastaavalla tavalla oktaedri on kahden keskenään duaalisen tetraedrin yhteinen ydinosa (nimellä stella octangula tunnettu muodostelma), ja tällä tavoin muodostettuna sitä sanotaan joskus myös tetratetraedriksi.
SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenSärmäkuvio 2 3 2 3 3 375px3.3.3.3 2 4 2 3 3 475px3.4.3.4 2 5 2 3 3 575px3.5.3.5
Kumpikin kvasisäännöllinen monitahokas voidaan konstruoida typistämällä jompikumpi sen muodostavista säännöllisestä monitahokkaasta leikkaamalla siitä jokaisesta kärjestä pois niin suuri pala, että alkuperäisen monitahokkaan jokainen sivu kutistuu yhdeksi pisteeksi.
Kvasisäännölliset laatoitukset
Tätä sarjaa edustaa triheksagonaalinen laatoitus, jonka kärkikuvio on (3.6)2. Se on 'kvasisäännöllinen laatoitus, joka on yhdistelmä kolmio- ja kuusikulmiolaatoituksesta samaan tapaan kuin kvasisäännölliset monitahokkaat ovat kahden säännöllisen monitahokkaan yhdistelmiä.
SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenKärkikuvio 2 3 2 675pxTriheksagonaalinen laatoitusr{6,3} 6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png2 | 3 675px(3.6)2
Shakkilautamalli on neliölaatoituksen kvasisäännöllinen väritys, jonka kärkikuvio on (4.4)2: SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenKärkikuvio 2 475px{4,4}6px6pxKuva:CDel node.pngKuva:CDel 4.pngKuva:CDel node.png 4 | 2 4 4 475px(4.4)2
Kolmiolaatoitus voidaan myös käsittää kvasisäännölliseksi. Sen muodostavat kolme vuorottelevaa kolmioiden joukkoa jokaisen kärjen ympärillä, (3.3)3: 60pxh{6,3}3 | 3 39px9px6px = 6px6px6px6px6px
Hyperbolisella tasolla sarja jatkuu edelleen. Siihen kuuluu muun muassa triheptagonaalinen laatoitus jonka kärkikuvio on (3.7)2. Se on kvasisäännöllinen laatoitus, jonka saadaan yhdistelmänä kertaluvun 7 kolmiolaatoituksesta ja heptagonaalisesta eli seitsenkulmioiden muodostamasta laatoituksesta: SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenKärkikuvio 2 3 2 7 3 775px(3.7)2
Ei-kuperia esimerkkejä
Vuonna 1954 H.S.M. Coxeter luokitteli myös muutamat samantapaiset tähtimonitahokkaat kvasisäännöllisiksi.
Kaksi niistä voidaan muodostaa säännöllisten Kepler-Poinsotin kappaleiden duaalipareista samaan tapaan kuin edellä mainitut kuperat kvasisäännölliset kappaleet, nimittäin suuri ikosidodekaedri ja dodekadodekaedri :
SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenKärkikuvio 2 5/2 2 3 3 5/275px3.5/2.3.5/2 2 5/2 2 5 5 5/275px5.5/2.5.5/2
Näiden lisäksi on vielä yhdeksän hemipolyedriä, jotka saadaan leikkaamalla edellä mainituista kvasisäännöllisistä monitahokkaista paloja pois. Niissä on mukana ekvatoriaalisia tahkoja, jotka kulkevat alkuperäinen monitahokkaan keskipisteen kautta:
Kvasisäännöllinen (typistetty)75pxTetratetraedri75pxKuboktaedri75pxIkosidodekaedri75pxSuuri ikosidodekaedri75pxDodekadodekaedriKvasisäännöllinen (hemipolyedri)75pxTetrahemihekeaedri3/2 3 | 275pxOktahemioktaedri3/2 3 | 375pxPieni ikosihemidodekaedri3/2 3 | 575pxSuuri ikosihemidodekaedri3/2 3 | 5/375pxPieni dodekahemikosaedri5/3 5/2 | 3Kärkikuvio75px3.4.3/2.475px3.6.3/2.675px3.10.3/2.1075px3.10/3.3/2.10/375px5/2.6.5/3.6Kvasisäännöllinen (hemipolyedrit) 75pxKubohemioktaedri4/3 4 | 375pxPieni dodekahemidodekaedri5/4 5 | 575pxSuuri dodekahemidodekaedri5/3 5/2 | 5/375pxSuuri dodekahemidodekaedri5/4 5 | 3Kärkikuvio 75px4.6.4/3.675px5.10.5/4.1075px5/2.10/3.5/3.10/375px5.6.5/4.6
Sitä paitsi on kolme ditrigonaalista muotoa, jotka kaikki saadaan poistamalla palasia säännöllisestä dodekaedrista. Niiden kärkikuvioina esiintyy kolme muunelmaa kahdesta tahkotyypistä: KuvaMonitahokkaan nimiWythoffin symboliCoxeterin diagrammiKärkikuvio 125pxDitrigonaalinen dodekadodekaedri3 | 5/3 5Tiedosto:Ditrigonal dodecadodecahedron cd.png tai 6px6px9px9px6px100px(5.5/3)3 125pxPieni trigonaalinen ikosaedri3 | 5/2 3Tiedosto:Small ditrigonal icosidodecahedron cd.png tai 9px6px6px6px6px100px(3.5/2)3 125pxSuuri ditrigonaalinen ikosidodekaedri3/2 | 3 5Tiedosto:Great ditrigonal icosidodecahedron cd.png tai 9px9px6px6px6px100px((3.5)3)/2