thumb|330px|SykligraafiNeljällä kuusikulmaisella syklillä on yhteinen inversio (musta solmu huipulla). Kuusikulmiot ovat symmetriset niin, että esimerkiksi 3 ja 4 ovat samalla syklillä, mutta 3 ja 12 eivät. Oktaedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen oktaedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 48 tavalla, joista 24 on orientaation säilyttäviä. Oktaedrin ohella myös kuutiolla on oktaedrinen symmetria, sillä se on oktaedrin duaalikappale.
Oktaedrisesti symmetrisen kappaleen orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on S4, sama kuin neljän alkion permutaatioryhmä, sillä oktaedrin vastakkaiset sivut muodostavat neljä paria ja jokaista tällaista symmetriaoperaatiota vastaa yksi näiden parien permutaatio.
Ominaisuuksia
Diskreeteistä pistesymmetrioista sekä myös pallopinnan symmetrioista kiraalinen ja täysi (eli akiraalinen) oktaedrinen symmetria Kiraalisella ja täydellä (eli akiraalisella) oktaedrisella symmetrialla on suurin symmetriaryhmä kaikista sellaista diskreetin pistejoukon symmetrioista ja samalla myös pallopinnan symmetrioista jotka ovat yhteensopivia siirtosymmetrian kanssa. Ne kuuluvat kuutiollisen kidejärjestelmän kristallografisiin pisteryhmiin.
+ KonjugaatioluokatO:n alkiotO:n alkioiden inversiotidenttinen kuvaus0inversio0'3 × 180°:n rotaatio nelinkertaisen akselin ympäri7, 16, 233 × peilaus nelinkertaista akselia vastaan kohtisuorassa olevan tason suhteen7', 16', 23'8 × 120°:n rotaatio kolminkertaisen akselin ympäri3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 208 × 60°:n rotaation ja peilauksen yhdistetty kuvaus3', 4', 8', 11', 12', 15', 19', 20'6 × 180°:n rotaatio kaksinkertaisen akselin ympäri1', 2', 5', 6', 14', 21'6 × peilaus kaksinkertaista akselia astaan kohtisuorassa olevan tason suhteen1, 2, 5, 6, 14, 216 × 90°:n rotaatio nelinkertaisen akselin ympäri9', 10', 13', 17', 18', 22'6 × 90°:n rotaation ja peilauksen yhdistetty kuvaus9, 10, 13, 17, 18, 22
Esimerkkejä 180px 180px 180px 180px 180px 180px 180px 180px 180px 180px
Täysi oktaedrinen ryhmä on kolmiulotteinen hyperoktaedraalinen ryhmä. Sellaisena se on samalla yhteenpunottu tulo (wreath product) ,, ja sen alkiot voidaan luonnollisella tavalla määritellä pareina , missä ja .Lisäksi se on samalla suora summa , ja sen tetraedrisen aliryhmän Td alkiot voidaan yksinkertaisesti samastaa lukujen kanssa ja niiden inversiot esittää luvuilla .
Niinpä esimerkiksi identtinen kuvaus voidaan esittää muodossa ja inversio muodossa . Alkiota esittää luku ja alkiota merkintä .
Rotaation ja peilauksen yhdistettyä kuvausta sanotaan rotorefleksioksi.
rotorefleksion havainnollistus
Kiraalinen oktaedrinen symmetria
PyörimisakselitC412pxC312pxC212px346
O, 432 eli [4,3]+, kertaluokkaa 24, on kiraalinen oktaedrinen symmetria eli rotationaalinen oktaedrinen symmetria. Tämä ryhmä on muutoinen tetraedrisen symmetrian T kaltainen, mutta C2-akselit ovat nyt C4-akseleita ja lisäksi on kuusi C2-akselia, jotka kulkevat kuution särmien keskipisteiden kautta. Td ja O ovat isomorfisia abstrakteja ryhmiä: molemmat vastaavat ryhmää S4, neljän kohteen symmetriaryhmää. Td on T:n ja sen joukon unioni, joka saadaan yhdistämällä jokainen O \ T:n alkio inversiolla. O on kuution ja säännöllisen oktaedrin rotaatioryhmä.
+ Kiraalinen oktaedrinen symmetriaOrtogonaalinen projektioStereografinen projektio2:nkertainen4:nkertainen3:nkertainen2:nkertainen150px150px150px150px
Täysi oktaedrinen symmetria Täyden eli akiraalisen oktaedrisen symmetrian symmetriaryhmälle käytetään merkintöjä Oh, *432, [4,3] tai m3m, ja se on kertalukua 48. Sillä on samat rotaatioakselit kuin O:lla, mutta lisäksi symmetriatasot, niiden joukossa sekä Td:n että Th:n kanssa. Tämä ryhmä on isomorfinen S4.C2:n kanssa, ja se on kuution ja oktaedrin symmetriaryhmä. Se on hyperoktaedrinen ryhmä, kun n=3.
Symmetria-akseleista kolme on kohtisuorassa toisiaan vastaan, ja ne voidaan valita koordinaattiakseleiksi.. Tällöin Oh:n erään perusalueen määrittää epäyhtälöryhmä 0 < x < y < z. Kappaleen, jolla on tämä symmetria, määrittää se osa kappaleesta, joka on tässä perusalueessa, esimerkiksi kuution määrittää yhtälö z = 1 ja oktaedrin yhtälö x + y + z = 1 (tai vastaavat epäyhtälöt, jolloin saadaan koko kappale eikä vain sen rajapintaa.) Yhtälö ax + by + cz + 1 määrittää 48-sivuisen monitahokkaan, disdyakis-dodekaedrin.
Tahkot voidaan yhdistää laajemmiksi tahkoiksi yhtälöillä a + b = 0 (kuutio) ja a = b = c (oktaedri).
Täyden oktaedrisen symmetrian 9 symmetria-akselia voidaan jakaa kahteen aliryhmään, joista toisessa niitä on kolme, toisessa kuusi. Ne vastaavat kahta ortogonaalista alisymmetriaa: diedristä symmetriaa D2h ja tetraedrista symmetriaa T4.
Oktaedrinen symmetria ja peilaukseen perustuvat aliryhmätOrtografinenprojektioStereografinen projektio4-kertainen3-kertainen2-kertainenOh, [4,3], 6px6pxKuva:CDel node_c1.png6px6px, täysi oktaedrinen symmetria (3+6 peiliä)100px100px100px100pxTd, [3,3]=[1+,4,3], 6px6px6px6px6px, tetraedrinen aliryhmä (3 peiliä)100px100px100px100pxC3v, , 6px6px6px, diedrinen symmetria (3 peiliä)100px100px100px100pxOrtografinenprojektioStereografinen projektio4-kertainen3-kertainen2-kertainenD4h, [4,2], 6px6px6px6px6px, diedrinen aliryhmä (1+2+2 peiliä)100px100px100px100pxD2h, [2,2]=[4,3*], 6px6px9px6px9px = diedrinen aliryhmä (1+1+1 peiliä)100px100px100px100pxC4v, , 6px6px6px, diedrinen aliryhmä (2+2 peiliä)100px100px100px100px
Rotaatiomatriisit Oktaedrisen symmetrian rotaatiomatriisit voidaan muodostaa lähtemällä kaikkien 3x3-permutaatiomatriisien joukosta. Tällaisia matriiseja on kolme, ja niistä kussakin luku 1 esiintyy kolme kertaa. Varustetaan nämä ykköset joko etumerkillä + tai -. Tällä tavoin saadaan kaikkiaan 48 matriisia, jotka yhdessä muodostavat täyden oktaedrisen ryhmän. Niistä 24:lla on determinantin arvona +1 ja toisilla 24:llä -1. Näistä edelliset ovat kiraalisen oktaedrisen ryhmän rotaatiomatriiseja, jälkimmäiset 24 taas vastaavat peilauksia ja inversioita.
Oktaedrinen symmetria saadaan myös lähtemällä kolmesta generaattorimatriisista, jotka kuvaavat peilauksia ja vastaavat kolmea peiliä Coxeterin-Dynkinin diagrammissa. Näiden heijastusten tuloina saadaan kolme rotationaalista generaattoria. + [4,3], 6px6px6px6px6px 6px6px6px6px6pxPeilauksetRotaatioName R0 R1 R2 R0R1 R1R2 R0R2Ryhmä6px6px6px6px6px6px6px6px6px6px6px6pxKertaluku222432Matriisi
Täyden oktaedrisen symmetrian aliryhmät
thumb|600px|Aliryhmät Hassen diagrammiksi järjestettyinä
SchoenfliesCoxeterOrb.H-MRakenneSykl.KertalukuIndeksiOh [4,3]6px6px6px6px6px *432m S4×S2481Td [3,3]6px6px6px6px6px *332 3m S440px24 2D4h [2,4]6px6px6px6px6px *224 4/mmm Dih1×Dih425px16 3D2h [2,2]6px6px6px6px6px *222 mmm Dih13=Dih1×Dih225px8 6C4v 6px6px6px *44 4mm Dih425px8 6C3v 6px6px6px *33 3m Dih3=S325px6 8C2v 6px6px6px *22 mm2 Dih225px4 12Cs=C1v [ ]6px * tai m Dih125px2 24Th [3+,4]6px6px6px6px6px 3*2 m A4×S240px24 2C4h [4+,2]6px6px6px6px6px 4* 4/m Z4×Dih125px8 6D3d [2+,6]6px6px6px6px6px 2*3 m Dih6=Z2×Dih325px12 4D2d [2+,4]6px6px6px6px6px 2*2 2m Dih425px8 6 C2h = D1d [2+,2]6px6px6px6px6px 2* 2/m Z2×Dih125px4 12S6 [2+,6+]6px6px6px6px6px 3× Z6=Z2×Z325px6 8S4 [2+,4+]6px6px6px6px6px 2× Z425px4 12S2 [2+,2+]6px6px6px6px6px × S225px2 24 O [4,3]+6px6px6px6px6px 432 432 S440px24 2T [3,3]+6px6px6px6px6px 332 23 A425px12 4D4 [2,4]+6px6px6px6px6px 224 422 Dih425px8 6D3 [2,3]+6px6px6px6px6px 223 322 Dih3=S325px6 8D2 [2,2]+6px6px6px6px6px 222 222 Dih2=Z2225px4 12C4 +6px6px6px 44 4 Z425px4 12C3 +6px6px6px 33 3 Z3=A325px3 16C2 +Kuva:CDel 2x.png|6px6px 22 2 Z225px2 24 C1 [ ]+6px 11 1 Z125px1 48
480pxOktaedriset aliryhmät Coxeterin diagrammeilla esitettyinäJohn Conway, The Symmetries of Things, Fig 20.8, p280
Kuution isometriat thumb|right|Kuution 48 symmetria-alkiota
Kuutiolla on 48 isometriaa eli symmetria-alkiota, joiden muodostama symmetriaryhmä Oh on isomorfinen ryhmän S4 × C2 kanssa. Ne voidaan luokitella seuraavasti: O (identtinen kuvaus ja 23 aitoa rotaatiota), joilla on seuraavat konjugaattiluokat (suluissa avaruuslävistäjien permutaatiot ja kvaternioesitys): 1 kpl: identtinen kuvaus (1) 6 kpl: 90°:n rotaatiot kunkin tahkon keskipisteestä kuution keskipisteen kautta vastakkaisen tahkon keskipisteeseen kulkevan akselin ympäri: 3 akselia, 2 rotaatiota akselia kohti, yhteensä 6 ((1 2 3 4), jne.; ((1±i)/, jne.) 3 kpl: 180°:n rotaatiot samojen akselien ympäri: 3 akselia, 1 rotaatio aksellia kohti, yhteensä 3 ((1 2) (3 4), jne.; i,j,k) 6 kpl: 180°:n rotaatiot kunkin särmän keskipisteestä kuution keskipisteen kautta vastakkaisen särmän keskpisteeseen kulkevan akselin ympäri: 6 akselia, yksi rotaatio akselia kohti, ((1 2), jne.; ((i±j)/, jne.) 8 kpl: 120°:n rotaatiot kuution avaruuslävistäjien ympäri: 4 akselia, 2 rotaatiota kutakin akselia kohti, ((1 2 3), jne.; (1±i±j±k)/2)
Kaikki edellä mainitut (yhteensä 24 kpl) voidaan konkreettisesti toteuttaa kääntämällä kuutio toiseen asentoon. Lisäksi kuutiolla on vielä toiset 24 inversiota, jotka saadaan yhdistämällä jokin edellisistä inversion eli kuution keskipisteen suhteen suoritettavan peilauksen kanssa (jossa piste x kuvautuu pisteeseen −x; toiset 24 isometriaa). On huomattava, että 180°:n rotaatio akselin ympäri yhdistettynä inversion kanssa johtaa samaan tulokseen kuin peilaus tätä akselia vastaan kohtisuoran tason suhteen. Inversion sekä avaruuslävistäjän ympäri suoritetun 120°:n rotaation yhdistetty kuvaus taas on sama kuin sama kuin avaruuslävistäjän ympäri suoritettu 60°:n rotaatio yhdistettynä kohtisuoran tason suhteen suoritetun peilauksen kanssa. Tällainen rotaatio sinänsä ei kuvaa kuutiota itselleen, vaan peilaustason ja kuution leikkauspintana saadaan säännöllinen kuusikulmio.
Kuution isometriat voidaan yksilöidä useilla eri tavoilla: niiden tahkojen mukaan, joille kolme annettua tahkoa (esimerkiksi ne tahkot, joilla nopassa on luvut 1, 2 ja 3) kuvautuvat; kuvan mukaan, joka kuutiosta saadaan, kun sen johonkin tahkoon on tehty epäsymmetrinen merkintä: kunkin isometrian osoittaa se tahko, johon tämä kuva isometriassa siirtyy, sekä sen orientaatio ynnä se seikka, onko se muuttunut peilikuvakseen vai ei; neljän avaruuslävistäjän permutaatioiden mukaan (kaikki 24 permutaatiota ovat mahdollisia), varustettuna lisämerkillä, joka osoittaa, onko inversio tapahtunut vai ei.
Jos kuution tahkot on väritetty eri värein tai jos sen tahkoille on tehty erilaisia merkintöjä, kuten nopassa, kuution symmetriaryhmä on jokin Oh:n aliryhmä.
Esimerkiksi:C4v, , (*422): jos yhdellä tahkoista on muista poikkeava väri (tai jos kahdella vastakkaisella tahkolla on kummallakin oma värinsä, joka on eri kuin neljällä muulla), kuutiolla on 8 isometriaa samoin kuin neliöllä kahdessa ulottuvuudessa.D2h, [2,2], (*222): jos vastakkaisilla tahkoilla on sama väri mutta kullakin kolmesta kahden vastakkaisen tahkon parilla on eri värit, kuutiolla on 8 isometriaa samoin kuin kuboidilla.D4h, [4,2], (*422): jos kahdella vastakkaisella tahkolla on sama väri ja kaikilla muilla tahkoilla jokin toinen väri, kuutiolla on 16 isometriaa, samoin kuin neliöpohjaisella särmiöllä.C2v, , (*22): jos kahdella viereisellä tahkolla on sama väri ja kaikilla muilla jokin toinen väri, kuutiolla on 4 isometriaa. jos kolmella tahkolla, joista kaksi on vastakkaisia, on yksi väri ja muilla kolmella tahkolla toinen väri, kuutiolla on 4 isometriaa. jos kahdella vastakkaisella tahkolla on sama väri, kahdella muulla vastakkaisella tahkolla toinen yhteinen väri ja lopuilla kahdella kummallakin eri väri, kuutiolla on 4 symmetriaa, samoin kuin peilisymmetrisellä tyhjällä paperiarkilla.Cs, [ ], (*): jos kahdella vierekkäisellä sivulla on kummallakin eri väri ja neljällä muulla jokin muu väri, mutta nämä ovat kaikki samanvärisiä, kuutiolla on 2 iseometriaa.