+ Pisteryhmät kolmessa ulottuvuudessa100pxInvolutionaalinen symmetriaCs, (*)[ ] = 6px100pxSyklinen symmetriaCnv, (*nn)[n] = 6px6px6px100pxDiedrinen symmetriaDnh, (*n22)[n,2] = 6px6px6px6px6pxPolyedrinen ryhmä, [n,3], (*n32)100pxTetraedrinen symmetriaTd, (*332)[3,3] = 6px6px6px6px6px100pxOktaedrinen symmetriaOh, (*432)[4,3] = 6px6px6px6px6px100pxIkosaedrinen symmetriaIh, (*532)[5,3] = 6px6px6px6px6px<noinclude> thumb|Ikosaedrisen symmetrian perusalueet thumb|right|Tavallinen pyöristetyn ja typistetyn ikosaedrin muotoinen jalkapallo, jolla on täysi ikosaedrinen symmetria. Ikosaedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen ikosaedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 120 tavalla, joista 60 on orientaation säilyttäviä. Ikosaedrin ohella myös dodekaedrilla on dodekaedrinen symmetria, sillä se on ikosaedrin duaalikappale.
Ikosaedrisesti symmetrisen kappaleen orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on A5, sama kuin viiden alkion alternoiva ryhmä, ja sen täysi symmetriaryhmä, johon kuuluvat myös peilaukset, on tämän alternoivan ryhmän ja syklisen ryhmän Z2 tulo A5 × Z2. Jälkimmäinen ryhmä tunnetaan myös Coxeterin ryhmänä H3, ja sitä esittävät Coxeterin merkintä [5,3] ja Coxeterin diagrammi 6px6px6px6px6px.
Pisteryhmänä
prismaattisten ja antiprismaattisten symmetrioiden kahta ääretöntä sarjaa lukuun ottamatta täydellä eli akiraalisella ikosaedrisella symmetrialla on kaikista diskreeteistä pistesymmetrioista ja samalla kaikista pallopinnan diskreeteista symmetrioista suurin symmetriaryhmä ja rotationaalisella eli kiraalisella ikosaedrisella symmetrialla toiseksi suurin.
Ikosaedrinen symmetria ei ole yhdistettävissä siirtosymmetriaan. Näin ollen ei myöskään ole olemassa sellaista kidejärjestelmää, jonka yksikkökopeilla olisi ikosaedrinen symmetria.
SchoenfliesCoxeterOrb.Abstrakti struktuuriKertalukuI[5,3]+6px6px6px6px6px532A560Ih[5,3]6px6px6px6px6px*532A5×2120
Näiden ryhmien presentaatiot ovat:
Nämä vastaavat rotationaalista ja täyttä ikosaedristä ryhmää, jotka ovat (2, 3, 5) -kolmioryhmät.
Ensimmäisen presentaation esitti William Rowan Hamilton ikosiaanilaskentaa koskevassa tutkielmassaan vuonna 1856.
Ryhmä voidaan kuitenkin presentoida myös muilla tavoin, esimerkiksi alternoivana ryhmänä (I:lle).
Visualisointeja Schoenflies(Orb.)CoxeterAlkioitaPeilidiarammitOrtogonaalinenStereografinen projektioIh(*532) 5px6px6px6px6px5px6px6px6px6px[5,3] Peili-viivojas:156px120px150px150px150pxI(532) 5px6px6px6px6pxTiedosto:Coxeter_diagram_chiral_icosahedral_group.png[5,3]+Pyörähdys-pisteitä:12512px20312px30212px120px150px12px150px12px150px12px
Ryhmän rakenne 160px200pxViiden oktaedrin pallomaisen yhdistelmän särmät esittävät 15 heijastustasoa, jotka on tässä merkitty väritetyillä isoilla ympyröillä. Jokainen oktaedri voi esittää kolmea toisiinsa nähden kohtisuoraa heijatustasoa, jotka kulkevat niiden särmien kautta.160px200pxPyritoedrinen symmetria on ikosaedrisen symmetrian aliryhmä, jonka indeksi on 5. Sillä on kolme tässä vihreällä merkittyä heijastussuoraa ja 8 punaista kertaluvun 3 pyörähdyspistettä. Indeksin 5 aliryhmänä sillä on 5 muuta pyritoedrisen symmetrian suuntaa. Ikosaedrisen rotaatioryhmän I kertaluku on 60. Ryhmä I on isomorfinen alternoivan ryhmän A5 eli viiden alkion parillisten permutaatioiden ryhmän kanssa. Tämä isomorfismi voidaan toteuttaa suorittamalla I:hin kuuluvat kuvaukset eri kohteille, erityisesti dodekaedrin ympäri piirretyille viiden kuution yhdistelmälle, viiden oktaedrin yhdistelmälle tai jommallekummalle kahdesta viiden tetraedrin yhdistelmästä (jotka ovat enantiomorfisia ja ympäröivät dodekaedria).
Ryhmä I sisältää 5 versiota ryhmästä Th, 20 versiota ryhmästä D3 (10 akselia, joista kutakin vastaa 2 versiota) sekä 6 versiota ryhmästä D5.
Täyden ikosaedrisen ryhmän Ih''' kertaluku on 120. Se sisältää I:n normaalina aliryhmänä, jonka indeksi on 2. Ryhmä Ih in isomorfinen ryhmän I × Z2 eli A5 × Z2 kanssa. Kun Z2 kirjoitetaan multiplikatiivisesti, sen alkiot ovat 1 ja -1, joista edellinen vastaa identtistä kuvausta, jälkimmäinen peilausta (inversiota) keskipisteen suhteen.Ih toimii viiden kuution tai viiden oktaedrin yhdistelmissä, mutta alkio -1 toimii identtisen kuvauksen tavoin, koska kuutiolla ja oktaedrilla on symmetriakeskus. Se toimii myös kymmenen tetraedrin yhdistelmässä: I toimii kahdella kiraalisella puoliskolla ja -1 vaihtaa nämä puoliskot keskenään. On kuitenkin huomattava, että se ei vaikuta samoin kuin S5, sillä nämä ryhmät eivät ole isomorfisia, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.
Ryhmä Ih sisältää aliryhminään 10 versiota ryhmästä D3d ja kuusi versiota ryhmästä D5d (antiprismojen kaltaiset symmetriat)
I on myös isomorfinen PSL2(5):n kanssa, mutta Ih ei ole isomorfinen SL2(5):n kanssa.
Muita saman kertaluvun ryhmiä Seuraavilla ryhmillä on kaikilla kertaluku 120, mutta ne eivät ole isomorfisia: S5, 5 alkion symmetrinen ryhmä Ih, täysi ikosaedrinen ryhmä (tämän artikkelin aihe, käytetään myös merkintää H3) 2I, binäärinen ikosaedrinen ryhmä Ne vastaavat seuraavia lyhyitä täsmällisiä sarjoja (joista jälkimmäinen ei jakaudu) ja tuloa
Sanallisesti ilmaistuna, on :n aliryhmä on suoran summan tekijä on :n tekijäryhmä.
On huomattava, että ryhmällä on poikkeuksellinen palautumaton kolmiulotteinen lineraarinen esitysmuoto, ikosaedrinen rotaatioryhmä, mutta ryhmällä ei ole palautumatonta kolmiulotteista esitysmuotoa, mikä vastaa sitä seikkaa, ettei täysi ikosaedrinen ryhmä ole sama kuin symmetrinen ryhmä.
Nämä liittyvät lineaarisiin ryhmiin myös viiden alkion äärellisen kunnan kautta, joka osoittaa aliryhmät ja peiteryhmät suoraan; yksikään näistä ei ole täysi ikosaedrinen ryhmä. projektiivinen erikoinen lineaarinen ryhmä projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä erikoinen lineaarinen ryhmä
Konjugaattiluokat + konjugaattiluokatIIhidenttinen kuvaus 12 kpl 72°:n rotaatioita, kertalukua 5 12 kpl 144°:n rotaatioita, kertalukua 5 20 kpl 120°:n rotaatioita, kertalukua 3 15 kpl 180°:n rotaatioita, kertalukua 2peilaus pisteen suhteen (inversio) 12 kpl 108°:n rotoreflektioita (108°:n rotaation ja tason suhteen tehdyn peilauksen yhdistettyjä kuvauksia), kertalukua 10 12 kpl 36°:n rotorefektioita, kertalukua 10 20 kpl 60°:n rotoreflektioita, kertalukua 6 15 kpl peilauksia tasojen suhteen, kertalukua 2
Täyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmät 320px|thumb|Aliryhmärelaatiot thumb|Kiraaliset aliryhmärelaatiot
SchoenfilesCoxeterOrb.H-MRakenneSykl.KertalukuIndeksiIh[5,3]6px6px6px6px6px*5322/mA5×Z2 1201D2h[2,2]6px6px6px6px6px*222mmmDih2×Dih1=Dih1325px 815C5v 6px6px6px *55 5mDih525px 10 12C3v 6px6px6px *33 3mDih3=S325px 6 20C2v 6px6px6px *22 2mmDih2=Dih1225px 4 30Cs [ ]6px * or mDih125px 2 60Th[3+,4]6px6px6px6px6px3*2mA4×Z225px 245D5d [2+,10]6px6px6px6px6px 2*5 m2Dih10=Z2×Dih525px 20 6D3d [2+,6]6px6px6px6px6px 2*3 mDih6=Z2×Dih325px12 10 D1d = C2h [2+,2]6px6px6px6px6px 2* 2/mDih2=Z2×Dih125px4 30S10 [2+,10+]6px6px6px6px6px 5× Z10=Z2×Z525px10 12S6 [2+,6+]6px6px6px6px6px 3× Z6=Z2×Z325px6 20S2 [2+,2+]6px6px6px6px6px × Z225px2 60I[5,3]+6px6px6px6px6px532532A5 602T[3,3]+6px6px6px6px6px332332A4 25px 1210D5[2,5]+6px6px6px6px6px522522Dih525px1012D3[2,3]+6px6px6px6px6px322322Dih3=S325px620D2[2,2]+6px6px6px6px6px222222Dih2=Z2225px430C5+6px6px6px555Z525px524C3+6px6px6px333Z3=A325px340C2+6px6px6px222Z225px260C1[ ]+6px111Z125px1120
Kaikki nämä aliryhmien luokat ovat konjugaattisia ja voidaan tulkita geometrisesti.
On huomattava, että jokaisella kärjellä, särmällä, tahkolla ja monitahokkaalla on samat stabilisaattorit kuin vastakkaisella kärjellä, särmällä, tahkolla tai monitahokkaalla. Toisin sanoen symmetriakuvaus, joka kuvaa kappaleen jonkin kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen, kuvaa myös sille vastakkaisen kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen.
Kärkien stabilisaattorit Kärjen stabilisaattorit ovat symmetriakuvauksia, joissa annettu kärki kuvautuu itselleen. Ne voidaan tulkita myös generoimansa akselin stabilisaattoreiksi. kunkin kärjen stabilisaattorit I:ssä muodostavat syklisen ryhmän C3. kunkin kärjen stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat diedriryhmän' D3. kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat syklisen ryhmän D3 kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat ryhmän .
Särmien stabilisaattorit Vastakkaisten särmien muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman suorakulmion stabilisaattoreiksi. Kunkin särmän stabilisaattorit I:ssa muodostavat syklisen ryhmän Z2. Kunkin särmän stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat Kleinin neliryhmän Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat Kleinin neliryhmän Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat ryhmän ; tällaisia pareja on viisi ja ne voidaan muodostaa peilauksilla kolmen kohtisuoran akselin suhteen.
Tahkojen stabilisaattorit Vastakkaisten tahkojen muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman antiprisman stabilisaattoreiksi. Kunkin tahkon stabilisaattorit I:ssa muodostavat syklisen ryhmän C5. Kunkin tahkon stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat diedriryhmän D5. Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat diedriryhmän D5. Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat ryhmän .
Monitahokkaiden stabilisaattorit Näistä jokaiselle on viisi konjugaattista kopiota, ja konjugaatiotoimitus muodostaa kuvauksen, itse asiassa isomorfismin . Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit I:ssä muodostavat T:n kopion. Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit I'h:ssa muodostavat T:n kopion. Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat T:n kopion. Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit Ih:ssä muodostavat Th:n kopion.
Perusalueet Ikosaedrisen rotaatioryhmän ja täyden ikosaedrisen ryhmän perusalueet näkyvät seuraavassa kaaviossa: 200pxIkosaedrinen rotaatioryhmäI200pxTäysi ikosaedrinen ryhmäIh180pxDisdyakis-triakontaedri, jonka tahkot ovat symmetrian perusalueita.
Disdyakis-triakontaedrin jokainen tahko on ikosaedrisen symmetrian perusalue. Muut kappaleet, joilla on sama symmetria, voidaan muodostaa siitä muuntamalla tahkoja eri tavoin, esimerkiksi tasoittamalla sopivasti valitut tahkojen ryhmät siten, että samaan ryhmään kuuluvat tahkot yhdistyvät yhdeksi tahkoksi, vaihtamalla jokainen tahko useamman tahkon yhdistelmään tai kaarevaan pintaan.
Monitahokkaat, joilla on ikosaedrinen symmetria
Kiraaliset monitahokkaat
Luokka Merkinnät KuvaArkhimedeen kappale sr{5,3}6px6px6px6px6px 50pxCatalanin kappaleV3.3.3.3.56px6px6px6px6px50px
Täysi ikosaedrinen symmetria Platonin kappaleetKeplerin–Poinsot'n kappaleetArkhimedeen kappaleet50px{5,3}6px6px6px6px6px 50px{5/2,5}6px6px6px6px6px 50px{5/2,3}6px6px6px6px6px {5,3}]]6px6px6px6px6px50pxt{3,5}6px6px6px6px6px50pxr{3,5}6px6px6px6px6px50pxrr{3,5}6px6px6px6px6px50pxtr{3,5}6px6px6px6px6pxPlatonin kappaleetKeplerin–Poinsot'n kappaleetArkhimedeen kappaleet50px{3,5}6px6px6px6px6px = 6px6px6px6px6px50px{5,5/2}6px6px6px6px6px = 6px6px6px6px6px50px{3,5/2}6px6px6px6px6px = 6px6px6px6px6px50pxV3.10.106px6px6px6px6px50pxV5.6.66px6px6px6px6px50pxV3.5.3.56px6px6px6px6px50pxV3.4.5.46px6px6px6px6px50pxV4.6.106px6px6px6px6px
Muita ikosaedrisesti symmetrisiä kohteita
Ikosaedrisesti symmetrisiä ovat myös: Barthin pinnat monien virusten rakenne ja niiden kapsidit kemiassa dodekaboraatti-ioni ([B12H12]2−) ja dodekaedraanimolekyyli (C20H20).
Nestekiteet ja kvasikiteet