Tikapuuparadoksi (eli seiväs ladossa -paradoksi tai lipputankoparadoksi) on suppeaan suhteellisuus­teoriaan liittyvä ajatuskoe. Siinä oletetaan, että vaaka­suoraan asentoon, maan pinnan suuntaisesti asetettuja tikapuita kuljetetaan vaaka­suorasti suhteellisuus­teoreetti­sella nopeudella, toisin sanoen nopeudella, joka on siinä määrin lähellä valon­nopeutta, että pituuskontraktio eli Lorentz-kontraktio on havaittavissa. Tikapuiden tai muun pitkän­omaisen esineen (esimerkiksi seipään tai lipputangon) oletetaan kulkevan etu- ja takaoven kautta sellaisen autotallin tai ladon läpi, jonka pituus on pienempi kuin tikapuiden lepopituus, niin että jos tikapuut eivät olisi liikkeessä, ne eivät mahtuisi sisään. Maan suhteen levossa olevan havaitsijan kannalta näyttää kuitenkin pituuskontraktion vuoksi siltä, että kulkiessaan autotallin läpi tikapuut mahtuvat sinne kokonaisuudessaan ja ovat hetken aikaa kokonaan sisällä. Sen sijaan tikkaiden mukana liikkuvan havaitsijan näkökulmasta tikkaat eivät kutistu kokoon, kun taas autotalli tulee pituuskontraktion vuoksi entistäkin lyhemmäksi, joten tikapuut eivät mahdu kokonaisuudessaan sisään. Tästä näyttää seuraavan, että eri havaitsijoiden kannalta sinänsä yhtä todelliset tilanteet ovat ristiriidassa keskenään.

Tämä näennäinen paradoksi seuraa siitä, että virheellisesti oletetaan absoluuttinen samanaikaisuus. Tikapuiden sanotaan mahtuvan autotalliin, jos niiden molemmat päät voivat saman­aikaisesti olla autotallin sisällä. Paradoksi ratkeaa, kun otetaan huomioon, että suhteellisuusteorian mukaan tapahtumien saman­aikaisuus on suhteellinen, minkä vuoksi myös vastaus kysymykseen siitä, ovatko tikkaiden molemmat päät saman­aikaisesti autotallista, riippuu havaitsijan liike­tilasta ja sen mukaisesti käytetystä koordinaatistosta.

Paradoksi Yksinkertaisimmassa muodossaan paradoksissa oletetaan autotalli, jonka etu- ja takaovet ovat molemmat avoimia, ja tikapuut, jotka ollessaan levossa autotallin suhteen ovat liian pitkät mahtuakseen sisään. Oletetaan, että tikapuita kuljetetaan suurella vaakasuoralla nopeudella levossa olevan autotallin läpi. Tikkaiden suuren nopeuden vuoksi niihin vaikuttaa suhteellisuus­teoreettinen pituuskontraktio, ja ne tulevat merkittävästi lyhyemmiksi. Sen vuoksi tikapuut ovat autotallin läpi kulkiessaan hetkellisesti kokonaisuudessaan sisällä. Olisi periaatteessa mahdollista sulkea samanaikaisesti molemmat ovet sen toteamiseksi, että tikkaat ovat sisällä.

Tähän saakka kaikki on selvää. Paradoksi seuraa tilanteen symmetrisyydestä. Oletetaan, että tikkaiden mukana liikkuu toinen havaitsija, jonka nopeus autotallin lepokoordinaatistossa on sama kuin tikkaiden. Suhteellisuus­peri­aatten mukaisesti samat fysiikan lait kuitenkin pätevät myös tämän havaitsijan lepo­koordinaatiosta. Hänen näkö­kulmastaan tikkaat ovat levossa ja autotalli liikkuu suurella nopeudella. Siitä kuitenkin seuraa, että tikkaiden sijasta lyheneekin autotalli, joka on aivan liian pieni, jotta tikkaat mahtuisivat sisään, eikä molempia ovia voida sulkea samanaikaisesti tikkaiden ollessa sisällä. Tämä näennäinen ristiriita tunnetaan tikapuu­paradoksina.

thumb|266px|left|Kuva 1: Autotalli ja tikapuut niiden ollessa levossa toistensa suhteen thumb|150px|Kuva 2: Autotallin koordinaatistossa tikapuut lyhenevät ja mahtuvat siten kokonaan autotallin sisään. thumb|150px|Kuva 3: Tikkaiden koordinaatistossa autotalli kokee pituuskontraktion ja on liian lyhyt, jotta tikkaat mahtuisivat sisään.

Ratkaisu pienoiskuva|left|Kuva 4: Tapahtumien kulku autotallin vertailujärjestelmässä: pituuskontraktion vuoksi lyhentyneet tikapuut kulkevat autotallin läpi pienoiskuva|Kuva 5: Tapahtumien kulku tikapuiden vertailujärjestelmässä: pituuskontraktion vuoksi lyhentynyt autotalli kulkee tikapuiden yli Paradoksin ratkaisee samanaikaisuuden suhteellisuus: kaksi tapahtumaa, jotka yhden, esimerkiksi autotallissa olevan havaitsijan kannalta ovat samanaikaisia, eivät välttämättä ole samanaikaisia toisen, esimerkiksi tikapuiden mukana liikkuvan havaitsijan kannalta. Kun sanotaan, että tikapuut "mahtuvat" sisään autotalliin, tarkoitetaan täsmällisemmin sanottuna sitä, että jonakin tiettynä hetkenä tikapuiden alku- ja loppupää ovat molemmat samanaikaisesti sisällä autotallissa, toisin sanoen tikapuut ovat jollakin hetkellä kokonaisuudessaan sisällä autotallissa. Koska samanaikaisuus on suhteellista, toisen havaitsijan vertailujärjestelmässä sellaista hetkeä ei välttämättä ole. Autotallin vertailujärjestelmässä eli sen lepokoordinaatistossa tikkaiden molemmat päät olivat samanaikaisesti sisällä autotallissa, sillä ne mahtuivat sisään, mutta tikapuiden vertailujärjestelmässä nämä tapahtumat eivät olleet samanaikaisia eivätkä tikkaat millään hetkellä olleet kokonaisuudessaan sisällä.

Asiaa voidaan selventää olettamalla, että autotallin vertailujärjestelmässä sen molemmat ovet suljetaan hetkeksi samanaikaisesti tikkaiden ollessa sisällä. Tarkastellaan samoja tapahtumia tikapuiden vertailujärjestelmässä. Ensin tikapuiden alkupää lähestyy autotallin poistumisovea. Ovi sulkeutuu ja avautuu jälleen, niin että tikapuut pääsevät ulos. Vasta myöhemmin tikapuiden loppupää kulkee autotallin etuovesta sisään, minkä jälkeen tämä ovi suljetaan ja jälleen avataan. Todetaan, että samanaikaisuus on suhteellista. Tikapuiden vertailujärjestelmässä molemmat ovet eivät sulkeutuneet samanaikaisesti eikä tikkaiden tarvitse mahtua sisään autotalliin.

Tilannetta voidaan vielä havainnollistaa alla olevalla Minkowskin diagrammilla. Diagrammi esittää autotallin vertailujärjestelmää. Pystysuora vaaleansininen suorakulmio osoittaa autotallin aika-avaruudessa ja vaaleanpunainen suunnikas tikkaita aika-avaruudessa. Kaavion x- ja t-akselit ovat paikka- ja aika-akselit autotallin, x′ ja t′ taas tikkaiden vertailujärjestelmässä.

Autotallin vertailujärjestelmässä tikapuita millä tahansa hetkellä esittää vaaleanpunaisen suunnikkaan läpi kulkeva vaakasuora, x-akselin suuntainen jana. Yksi sellainen on kaavioon sinisellä merkitty jana AB, joka on kokonaan vaaleansinisen, autotallia kuvaavan suorakulmion sisällä ja esittää tikapuita hetkellä, jolloin ne ovat kokonaan sisällä autotallissa. Tikkaiden vertailujärjestelmässä sitä vastoin samanaikaisia ovat ne tapahtumat, joiden vastinpisteet ovat samalla x'-akselin suuntaisella janalla. Tikapuita millä tahansa hetkellä esittää näin ollen x'-akselin suuntainen, punaisen suunnikkaan läpi kulkeva jana, kaaviossa esimerkiksi jana AC. Nähdään, etteivät mikään tällainen jana mahdu kokonaisuudessaan vaaleansinisen suorakulmion sisään, toisin sanoen tikapuut eivät millään hetkellä ole kokonaisuudessaan autotallin sisällä.

center|thumb|325px|Kuva 6: Tikapuuparadoksia esittävä Minkowskin diagrammi. Autotalli on merkitty vaaleansinisenä, tikapuut vaaleanpunaisena. Diagrammi on esitetty autotallin lepokoordinaatistossa, jossa x ja t ovat paikka- ja aika-akselit. Tikapuiden vertailujärjestelmä kuvaa tilannetta henkilön kannalta, joka istuu tikapuiden edessä. Siinä paikka-akseli on x′ ja aika-akseli t′. Sininen ja punainen viiva AB ja AC esittävät tikapuita hetkellä, jolloin niiden etupää kohtaa autotallin poistumisoven, AB autotallin ja AC tikkaiden lepokoordinaatistossa. Tapahtuma D on tikapuiden takapään saapuminen autotallin sisäänkäyntioven kohdalle.

Tikkaiden sulkeminen autotalliin

thumb|left|143px|Kuva 7: Tikapuut kutistuvat kokoon mahtuakseen pituuskontraktion vuoksi lyhentyneeseen autotalliin

Hieman monimutkaisempi versio paradoksista saadaan, jos tikapuut suljetaan sisään autotalliin niiden ollessa kokonaan sisällä. Tämä voidaan saada aikaan esimerkiksi niin, että poistumisovea ei sen sulkemisen jälkeen avata uudelleen. Autotallin vertailujärjestelmässä voidaan olettaa, ettei poistumisovi ole liikkeessä, ja niinpä kun tikapuut osuvat siihen, sanotaan, että ne yhtäkkisesti pysähtyvät. Wolfgang Rindler kuvaili tilannetta sauvalla, joka kiihtyy samanaikaisesti. Sillä hetkellä myös se ovi, josta tikkaat tulivat sisään, on kiinni, joten tikkaat jäävät sisään autotalliin. Koska niiden suhteellinen nopeus on nyt nolla, ne eivät enää ole pituuskontraktoituneet ja ovat nyt pidemmät kuin autotalli; niinpä niiden tulisi taipua, katketa tai räjähtää.

Tässäkin tapauksessa ongelmia aiheuttaa tilanteen tarkasteleminen tikapuiden vertailujärjestelmässä. Omassa vertailujärjestelmässään tikapuut ovat aina pidempiä kuin autotalli. Kuinka ovet siis voidaan sulkea niin, että tikapuut jäävät sisään?

Tässä on huomattava yksi suhteellisuusteorialle ominainen yleinen piirre. Tarkastelemalla tilannetta autotallin kannalta olemme päätelleet että tikapuut on mahdollista sulkea sisään. Tämän täytyy kuitenkin olla totta kaikissa vertailujärjestelmissä – ei voi olla niin, että ne jäävät sisään yhdessä vertailujärjestelmässä, mutta eivät toisessa. Näin ollen myös tikkaiden vertailujärjestelmässä on oltava selitys sille, että ne voidaan sulkea sisään autotalliin; tämä selitys on vain löydettävä.

Ratkaisu on, että vaikka tikkaiden kaikkien osien nopeus autotallin vertailujärjestelmässä pienenee nollaan samanaikaisesti, mutta samanaikaisuuden suhteellisuuden vuoksi tikkaiden eri osien hidastumiset eivät niiden omassa vertailujärjestelmässä ole samanaikaisia. Itse asiassa tikkaiden eri osien liike hidastuu eri aikaan, toinen toisensa jälkeen hidastuvat toinen toistensa jälkeen, ensin niiden etupään ja viimeiseksi niiden takapään liike hetkellä, jolloin se on jo autotallissa.

Tikapuuparadoksi liittyy pituuskontraktioon vastaavalla tavalla kuin kaksosparadoksi aikadilataatioon, joka pituuskontraktion tavoin sekin on Lorentzin muunnoksen ilmenemismuoto. Kaksosparadoksissa oletetaan, että toinen kaksosveljistä lähtee Maasta, liikkuu avaruudessa suurella nopeudella ja palaa Maahan veljeään nuorempana. Samaan tapaan kuin tikapuuparadoksissa tikapuut ja autotalli liikkuvat toistensa suhteen, on kaksosparadoksissakin kysymys siitä, että molemmat veljekset liikkuvat toistensa suhteen, jolloin suhteellisuusperiaatteen mukaisesti molempien voisi olettaa olevan samanarvoisessa asemassa. Kummassakaan tapauksessa eri vertailujärjestelmät eivät kuitenkaan ole yhtäläisessä asemassa, sillä vain toinen osapuoli (tikapuuparadoksissa tikapuut, kaksosparadoksissa avaruusmatkaaja) joutuu kiihtyvään liikkeeseen, joka rikkoo tilanteen symmetrian. (Ellei avaruusmatkaaja missään vaiheessa joutuisi kiihtyvään liikkeeseen, hän liikkuisi aina vain suoraan poispäin Maasta eikä koskaan palaisi.)

frame|center|Kuva 8: Minkowskin diagrammi tapauksesta, jossa tikapuut pysäytetään koko pituudeltaan samanaikaisesti autotallin vertailujärjestelmässä. Kun tämä tapahtuu, tikkaiden sijaintia autotallin vertailujärjestelmässä esittää jana AB, mutta tikkaiden vertailujärjestelmässä jana AC. Kun tikkaiden loppupää tulee sisään autotalliin pisteessä D, tässä päässä ei ole vielä tapahtunut samanlaisia kiihtyvyyden aiheuttamia ilmiötä kuin tikkaiden etupäässä. Sillä hetkellä tikkaiden takapään suhteen levossa olevan havaitsijan vertailujärjestelmässä tikkaiden etupää on pisteessä E ja tikkaita esittää jana DE. Nähdään, että tämä pituus tikkaiden vertailujärjestelmässä ei ole sama kuin CA, tikkaiden lepopituus ennen niiden liikkeen hidastumista.

Tikapuuparadoksi ja voiman välittyminen