Log-normaalijakauma eli logaritminormaalijakauma on todennäköisyyslaskennassa sellaisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma, jonka logaritmi on normaalisti jakautunut. Toisin sanoen, jos satunnaismuuttuja on log-normaalisti jakautunut, niin on normaalisti jakautunut, ja jos on normaalisti jakautunut, niin on log-normaalisti jakautunut. Log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja voi saada vain positiivisia reaalilukuarvoja. Jakauma on käyttökelpoinen malli monille fysikaalisille, teknisille, taloustieteellisille ja muilla aloilla esiintyville muuttujille.
Jakaumaa nimitetään toisinaan myös Galtonin jakaumaksi Francis Galtonin mukaan. Muita siihen toisinaan yhdistettyjä nimiä ovat McAlister, Gibrat ja Cobb-Douglas.
Todennäköisyyslaskennan keskeisen raja-arvolauseen mukaan monen riippumattoman satunnaismuuttujan summa noudattaa sitä tarkemmin normaalijakaumaa, mitä enemmän näitä satunnaismuuttujia on. Samaan tapaan tarpeeksi monen toisistaan riippumattoman satunnaismuuttujan tulolla on taipumus noudattaa log-normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Log-normaalijakaumalla on myös suurin entropia niistä jakaumista, joilla on tietty odotusarvo ja varianssi.
Määritelmä
Jakauman muodostaminen ja parametrit
Olkoon standardinormaalijakaumaa noudattava satunnaismuuttuja, ja olkoot ja kaksi reaalilukua. Silloin satunnaismuuttujan
jakaumaa sanotaan log-normaalijakaumaksi parametrein and . Nämä parametrit ovat tällöin jakauman luonnollisen logaritmin odotusarvo ja keskihajonta, mutta eivät itse jakauman odotusarvo ja varianssi. thumb|upright=1.5|Normaalijakauman ja logaritminormaalijakauman välinen yhteys. Jos on normaalisti jakautunut, on logaritminormaalisti jakautunut.
Tämä yhteys pätee logaritmi- tai eksponenttifunktion kantaluvusta riippumatta. Jos on normaalisti jakautunut, samoin on myös , olivatpa ja mitkä tahansa positiiviset luvut (. Samoin jos on log-normaalisti jakautunut, samoin on satunnaismuuttujan laita, kun .
Sellaisen jakauman muodostamiseksi, jolla on haluttu odotusarvo ja varianssi , on valittava ja
Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää "multiplikatiivisia" eli "geometrisia" parametreja ja . Niillä on suorempi tulkinta: on jakauman mediaani, ja liittyy jakauman leviämiseen jäljempänä selitettävällä tavalla.
Tiheysfunktio
Positiivinen satunnaismuuttuja X on log-normaalisti jakautunut, jos X:n logaritmi on normaalisti jakautunut, jolloin
Olkoon normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio ja sen tiheysfunktio. Tällöin saadaan:
,
missä esimerkiksi tarkoittaa todennäköisyyttä sille, että satunnaismuuttujan X arvo on pienempi kuin x.
Kertymäfunktio Log-normaalijakauman kertymäfunktio on
missä on normeeratun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio.
Virhefunktion avulla kertymäfunktio voidaan esittää muodossa:
missä erfc on komplementaarinen virhefunktio erfc(x) = 1 - erf(x).
Useamman muuttujan lognormaalijakauma Jos on useamman muuttujan normaalijakauma, niin funktio noudattaa useamman muuttujan logaritmista normaalijakaumaa., jonka odotusarvo on
ja kovarianssimatriisi
Useamman muuttujan logaritminormaalijakauma ei kuitenkaan ole kovin yleisessä käytössä, minkä vuoksi jäljempänä rajoitutaan käsittelemään yhden muuttujan jakaumaa.
Karakteristinen funktio ja momentit generoiva funktio
Logaritmisella normaalijakaumalla on kaikki momentit, ja
Tämä voidaan johtaa sijoittamalla integraaliin . Kuitenkaan odotusarvo ei ole määritelty millään argumentin positiivisella arvolla, koska sen määrittelevä integraali hajaantuu. Sen vuoksi logaritmisella normaalijakaumalla ei myöskään ole momentit generoivaa funktiota. Tähän liittyy se, että logaritmisen normaalijakauman momentit eivät yksikäsitteisesti määrittele jakaumaa.
Karakteristinen funktio on määritelty reaaliarvoille , mutta ei sellaisille kompleksiluvuille, joilla on negatiivinen imaginaariosa, minkä vuoksi karakteristinen funktio ei ole analyyttinen origossa. Tämän vuoksi logaritmisen normaalijakauman karakteristista funktiota ei voida esittää päättymättömänä suppenevana sarjana. Erityisesti sen muodollinen Taylorin sarja
hajaantuu. Funktiolle on kuitenkin voitu muodostaa vaihtoehtoisia hajaantuvia sarjaesityksiä.
Karakteristiselle funktiolle ei tunneta suljetussa muodossa esitettävää lauseketta. Sille saadaan kuitenkin hyviä likiarvoja lausekkeesta
missä on Lambertin W-funktio. Tämä likiarvo voidaan johtaa asymptoottisella menetelmällä, mutta se pätee likimäärin kaikilla :n arvoilla, joilla suppenee.
Ominaisuuksia
Geometriset eli multiplikatiiviset momentit
Logaritmisen normaalijakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskiarvo on . Se on samalla jakauman mediaani. Jakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskihajonta on . Analogisesti aritmeettisten tilastollisten tunnuslukujen kanssa voidaan määritellä geometrinen varianssi , ja myös geometrista variaatiokerrointa on ehdotettu. Viimeksi mainitun olisi tarkoitus olla analoginen tavallisen variaatiokertoimen kanssa lognormaalin aineiston tapauksessa, mutta tällä määritelmällä ei ole sellaista teoreettista perustaa, että sen perusteella voitaisiin arvioida itse variaatiokerrointa .
On huomattava, että geometrinen keskiarvo on aina pienempi kuin sen aritmeettinen keskiarvo. Tätä tosiasiaa sanotaan aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi, ja se kuvastaa sitä tosiasiaa, että logaritmifunktion kuvaaja on ylöspäin kupera. Itse asiassa pätee yhteys
Liikealalla termiä tulkitaan toisinaan kuperuuskorjaukseksi. Stokastisen analyysin kannalta kyseessä on sama korjaustermi kuin geometrista Brownin liikettä koskevassa Itôn lemmassa.
Aritmeettiset momentit
Kun on mikä tahansa reaali- tai kompleksiluku, lognormaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan n:s momentti on
Erityisesti lognormaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan aritmeettinen keskiarvo, odotusarvo, aritmeettinen varianssi ja aritmeettinen keskihajonta ovat:
.
Jakauman aritmeettinen variaatiokerroin määritellään sen keskihajonnan ja keskiarvon suhteena: .
Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa se on:
Tätä tulosta sanotaan joskus "geometriseksi variaatiokertoimeksi" (, GCV). Aritmeettisesta keskihajonnasta poiketen se on aritmeettisesta keskiarvosta riippumaton.
Parametrien ja arvot voidaan laskea, jos aritmeettinen keskiarvo ja varianssi tunnetaan:
Momentit eivät määritä todennäköisyysjakaumaa yksikäsitteisesti. Toisin sanoen on muitakin jakaumia, joilla on samat momentit. Itse asiassa on koko joukko jakaumia, joilla on samat momentit kuin logaritmisella normaalijakaumalla.
Moodi, mediaani ja kvantiilit thumb|upright=1.25|Kahden vinoudeltaan toisistaan poikkeavan logaritmisen normaalijakauman odotusarvot, mediaanit ja moodit
Jakauman moodi on piste, jossa sen tiheysfunktio saa suurimman arvonsa. Erityisesti se toteuttaa yhtälön , josta saadaan:
Koska logaritmisesti muunnettu muuttuja on normaalisti jakautunut ja koska kvantiilit säilyvät monotonisissa muutoksissa, muuttujan kvantiilit ovat:
missä on standardin normaalijakauman kvantiili.
Erityisesti logaritmisen normaalijakauman mediaani on sama kuin sen geometrinen keskiarvo.
Osittainen odotusarvo
Satunnaismuuttujan osittainen odotusarvo kynnysarvon suhteen määritellään seuraavasti:
Vaihtoehtoisesti se voidaan kirjoittaa ehdollisen odotusarvon avulla muotoon . Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa osittainen odotusarvo on:
missä on normaalijakauman kertymäfunktio. Osittaisen odotusarvon kaavalla on käyttöä vakuutusalalla ja taloustieteessä, ja sen avulla ratkaistaan Black–Scholesin kaavaan johtava osittaisdifferentiaaliyhtälö.
Ehdollinen odotusarvo
Log-normaalin satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo kynnysarvon suhteen on sen osittainen odotusarvo jaettuna sen kumulatiivisella todennäköisyydellä olla tällä välillä:
Vaihtoehtoisia parametrointeja
Log-normaalijakauma määritetään tavallisimmin parametrien tai avulla, mutta vaihtoehtoisesti se voidaan parametroida useilla muillakin tavoilla. Todennäköisyysjakaumien tietokanta ProbOnto tuntee kaikkiaan seitsemän muuta tapaa parametroida log-normaalijakauma: thumb|400px|Yhteenveto log-normaalien jakaumien parametroinneista
Normal1(μ,σ), parametreina odotusarvo μ ja keskihajonta σ
LogNormal2(μ,υ), parametreina odotusarvo μ ja varianssi υ, molemmat logaritmisella asteikolla
LogNormal3(m,σ), parametreina mediaani m lineaarisella asteikolla ja keskihajonta σ logaritmisella asteikolla
LogNormal4(m,cv), parametreina mediaani m ja variaatiokerroin cv, molemmat lineaarisella asteikolla
LogNormal5(μ,τ), parametreina odotusarvo μ ja tarkkuus τ, molemmat logaritmisella asteikolla.
LogNormal6(m,σg), parametreina mediaani m ja geometrinen keskihajonta σg, molemmat lineaarisella asteikolla
LogNormal7(μN,σN), parametreina odotusarvo μN ja keskihajonta σN, molemmat lineaarisella asteikolla
Esimerkkejä uudelleenparametroinneista
Tarkastellaan tilannetta, jossa samaa aineistoa halutaan mallintaa kahdella tavalla käyttämällä kahta erilaista optimointivälinettä, esimerkiksi PFIM and PopED. Näistä edellinen tukee LN2-, jälkimminen LN7-parametrointia. Siksi tarvitaan uudelleenparametrointia, sillä muutoin mallit johtaisivat eri tuloksiin.
Muunnokselle pätevät kaavat: .
Muunnokselle taas pätevät kaavat: .
Muut uudelleenparametrointikaavat löytyvät ProbOnto -tietokannasta.
Monikerta, käänteisarvo ja potenssit Vakiolla kertominen: Jos , niin . Käänteisarvo: If , niin. Potenssi: If , niin , kun .
Log-normaalisti jakautuneiden satunnaismuuttujien kerto- ja jakolasku
Jos kaksi riippumatonta log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, ja , kerrotaan keskenään, niiden tulo on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina ja , missä . Tämän avulla voidaan helposti muodostaa useammankin log-normaalin satunnaismuuttujan tulon jakauma: Jos ovat riippumatonta, log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, niin
Jos taas log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja , jonka parametrit ovat ja , jaetaan toisella siitä riippumattomalla log-normaalisti jakautuneella satunnaismuuttujalla , jonka parametrit ovat ja , näiden osamäärä on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina ja .
Multiplikatiivinen keskeinen raja-arvolause Samalla tavalla jakautuneiden riippumattomien positiivisten satunnaismuuttujien multiplikatiivinen eli geometrinen keskiarvo noudattaa logaritmista normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Tätä tulosta sanotaan multiplikatiiviseksi keskeiseksi raja-arvolauseeksi, ja se seuraa suoraan todennäköisyyslaskennan keskeisestä raja-arvolauseesta, kun sitä sovelletaan muuttujiin, jotka saadaan alkuperästen satunnaismuuttujien logaritmeina.
Muuta
Log-normaalijakaumaa noudattavalla aineistolla on symmetrinen Lorenzin käyrä.
Jakauman harmoninen (), geometrinen () ja aritmeettinen keskiarvo () liittyvät toisiinsa seuraavasti:
Log-normaalit jakaumat ovat äärettömästi jaollisia,, mutta eivät stabiileja jakaumia.
Yhteydet muihin jakaumiin Jos on normaalisti jakautunut, niin Jos on jakautunut log-normaalisti, niin on jakautunut normaalisti. Olkoot riippumattomia log-normaaleja jakaumia, joilla mahdollisesti on erisuuret parametrit ja , ja okoon . Tällöin :n jakaumaa ei voida esittää suljetussa muodossa, mutta sitä voidaan sen oikeassa päässä approksimoida toisella log-normaalilla jakaumalla . Sen tiheysfunktion muoto tunnetaan myös 0:n läheisyydessä missä se ei muistuta mitään log-normaalia jakaumaa. Sille saadaan L. F. Fentonin tunnetuksi tekemä, mutta R.I. Wilkinsonin jo aikaisemmin esittämä ja Marlowin matemaattisesti perustelema likiarvo) käyttämällä toisen log-normaalin jakauman keskiarvoa ja varianssia:
Jos kaikilla muuttujilla on sama varianssiparametrin arvo , nämä kaavat yksinkertaistuvat muotoon
Vielä parempia likiarvoja voidaan saada arvioimalla jakauman tiheys- ja kertymäfunktiota Monte Carlo menetelmällä.
Jos , niin muuttujan jakaumaa sanotaan kolmiparametriseksi log-normaaliksi, ja se on jakautunut välille . , .