Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko Johan Jensenin mukaan, voidaan arvioida konveksin funktion integraaleja.
Äärellinen muoto
Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle φ ja positiivisille painokertoimille ai on voimassa
Epäyhtälö on käännettävä jos φ on konkaavi.
Jos ai=1, on
Funktio log(x) on konkaavi, joten sijoittamalla φ(x) = log(x) saadaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö:
Yleinen väittämä
Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä muodossa mittateorian avulla. Se voidaan ilmaista myös todennäköisyysteorian avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.
Mittateoreettinen muotoilu
Olkoon (Ω,A,μ) mitta-avaruus siten, että μ(Ω) = 1. Jos g on reaaliarvoinen μ-integroituva ja jos φ on konveksi joukossa g, on voimassa
Todennäköisyysteoreettinen muotoilu
Todennäköisyysteorian terminologialla μ on todennäköisyysmitta. Funktio g korvataan reaaliarvoisella satunnaismuuttujalla X. Tällöin jokainen integraali Ω:ssa todennäköisyysmitan μ suhteen voidaan tulkita odotusarvoksi. Tällöin, jos φ on konveksi funktio, on
Todistus
Olkoon g μ-integroituva funktio mitta-avaruudessa Ω ja olkoon φ konveksi funktio g:n määrittelyjoukossa. Määritellään φ:n oikeanpuoleinen derivaatta x:ssä asettamalla
Koska φ on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun t lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa
missä t < 0. Siten raja-arvo on aina olemassa.
Asetetaan nyt seuraavat merkinnät:
Tällöin kaikilla x on voimassa . Tämä nähdään siitä, että jos x>x0 ja t = x − x0 > 0, on voimassa
Siten
kuten vaadittiin. Tapaus x < x0 todistetaan vastaavasti, kuten myös tapaus .
φ(x0) voidaan siten kirjoittaa muodossa
Mutta koska μ(Ω) = 1, on kaikilla reaaliluvuilla k voimassa
Erityisesti
Q.E.D.
Lähteet
Walter Rudin, Real and Complex Analysis David Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics
Aiheesta muualla Jensenin epäyhtälö MathWorldissä Jensenin epäyhtälö on Kööpenhaminan yliopiston matematiikan laitoksen logossa.
Luokka:Epäyhtälöt Luokka:Analyysi