Ympyrän mittaaminen (, ) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee ympyrän geometriaan liittyviä kysymyksiä.Stén, Johan: ”Arkhimedeen tutkielmia: Ympyrän mittaaminen”. Teoksessa Arkhimedes 2025, s. 72–75. Se esittää muun muassa iteratiivisen menetelmän piin likiarvon lähestymiseksi.
Historia
Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teos Ympyrän mittaaminen ajoitetaan noin vuoteen 225 eaa. Se on alun perin ollut osa pidempää teosta. Arkhimedes käytännössä etsii teoksessa piin likiarvoa eli ympyrän kehän ja halkaisijan välistä suhdetta. Antiikin Kreikassa ei kuitenkaan vielä käytetty kyseisestä vakiosta piin nimeä. Arkhimedes tiesi, ettei suhteelle ole kokonaislukua eikä myöskään tarkkaa rationaalilukua ole mahdollista löytää.
Ympyrän mittaaminen oli yksi Arkhimedeen ydinkirjoituksista, jotka tunnettiin Bysantissa keskiajalla. Eutokios kirjoitti siihen kommentaarin. Myöhemmin se tunnettiin käsikirjoitustraditiossa Codex A, ja se oli yksi Arkhimedeen teoksista, jotka Vilhelm Moerbekelainen käänsi latinaksi vuonna 1269.
Teos on suomennettu osana kokoelmaa Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia (2025).
Sisältö
Teos koostuu kolmesta propositiosta:
Propositio 1
Ensimmäinen propositio esittää:
pienoiskuva|pysty=1.1|Havainnoillistus väittämästä 1: Ympyrä ja kolmio ovat pinta-alaltaan samansuuruisia. Minkä tahansa ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin suorakulmainen kolmio, jonka toinen suorista sivuista on ympyrän säde ja toinen ympyrän kehän pituus.
Toisin sanoen, ympyrä, jonka kehän pituus on ja säde , on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat ja . Tämän väittämän Arkhimedes todistaa tyhjennysmenetelmällä, joka oli varhainen raja-arvomenetelmän muoto.
Propositio 2
Toinen propositio esittää:
Ympyrän pinta-alan suhde halkaisijansa neliöön on likimain sama kuin 11:n suhde 14:ään.
Tätä väittämää ei todennäköisesti esittänyt itse Arkhimedes, sillä se perustuu seuraavan eli kolmannen proposition tulokseen.
Propositio 3
Kolmas propositio esittää:
Ympyrän kehän suhde halkaisijaan on suurempi kuin mutta pienempi kuin .
Tämä on arvio siitä, mitä nykyään kutsutaan piiksi. Arkhimedes saavutti nämä rajat piille piirtämällä ympyrän sisään ja sen ympärille kaksi toistensa kaltaista 96-kulmaista säännöllistä monikulmiota.
Propositio sisältää myös tarkkoja arvioita neliöjuuresta (yksi suurempi ja toinen pienempi kuin tarkka arvo) sekä muista suuremmista ei-täydellisistä neliöluvuista. Arkhimedes ei kuitenkaan selitä, miten hän sai nämä arvot. Hän antaa :n ala- ja ylärajan seuraavasti:
Lähteet
Kirjallisuutta Suomennos
Arkhimedes: Ympyrän mittaaminen. Suomennos Sami Jansson. Teoksessa
Muita käännöksiä ja tekstilaitoksia
Archimedes: Measurement of a Circle. Teoksessa
Aiheesta muualla
Archimedes: Measurement of a Circle.
Luokka:Arkhimedeen teokset