Topologisesti erottuvia ovat topologisen avaruuden X sellaiset kaksi pistettä, että on olemassa avoin joukko, johon kuuluu niistä toinen muttei molemmat. Muutoin ne ovat topologisesti erottamattomia eli niillä on täsmälleen samat ympäristöt.
T0 -avaruus tarkoittaa topologista avaruutta, jossa jokainen piste on mistä tahansa muusta pisteestä topologisesti erottuva. Tämä on heikoin erotteluaksiooma.
Topologinen erottamattomuus määrittelee ekvivalenssirelaation millä tahansa topologisella avaruudella X. Jos x ja y ovat X: n pisteitä, kirjoitamme x ≡ y, koska " x ja y ovat topologisesti erottamattomia". X :n ekvivalenssiluokkaa merkitään [ x ]:llä.
Esimerkkejä Määritelmän mukaan mitkä tahansa kaksi erillistä pistettä T0-avaruudessa ovat topologisesti erottuvia.
Toisaalta säännöllisyys ja normaalius eivät edellytä T0:aa, joten voimme löytää epätriviaaleja esimerkkejä topologisesti erottuvista pisteistä säännöllisissä tai normaaleissa topologisissa avaruuksissa. Itse asiassa lähes kaikki alla annetut esimerkit ovat täysin säännöllisiä.
Minitopologiassa mitkä tahansa kaksi pistettä ovat topologisesti erottamattomia. Pseudometrisessä avaruudessa kaksi pistettä ovat topologisesti erottamattomia, jos ja vain jos niiden välinen etäisyys on nolla. Seminormiavaruudessa x ≡ y jos ja vain jos ‖x − y ‖ = 0. Olkoon esimerkiksi L2(R) kaikkien mitallisten funktioiden avaruus R:stä R :ään, jotka ovat neliöllisesti integroitavissa (katso Lp-avaruus ). Tällöin kaksi funktiota f ja g ovat L2(R):ssä topologisesti erottamattomia, jos ja vain jos ne ovat yhtä suuret melkein kaikkialla . Olkoon X:ssä funktioperheen indusoima topologia. Tällöin kaksi joukon X pistettä x ja y ovat topologisesti erottamattomia, jos ja vain jos perhe ei erota niitä toisistaan (esim. kaikille ). Jos ~ on jokin ekvivalenssirelaatio joukossa X, on olemassa joukon X topologia, jonka topologisen erottamattomuuden käsite on yhdenmukainen annetun ekvivalenssirelaation kanssa. Voidaan yksinkertaisesti ottaa ekvivalenssiluokat topologian kannaksi.
Ominaisuudet
Yhtäpitävät ehdot Kahden pisteen topologisen erottamattomuuden määrittämiseen on useita ekvivalentteja tapoja. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoot x ja y X:n pisteitä. Merkitään x:n ja y:n sulkeumia cl{ x }:llä ja cl{ y }:llä, ja vastaavia ympäristökantoja Nx: llä ja Ny: llä. Tällöin seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja:
x ≡ y jokainen X:n avoin joukko U joukossa X, joko sisältää sekä x:n että y:n tai ei kumpaakaan niistä Nx = Ny x ∈ cl{ y } ja y ∈ cl{ x } cl{ x } = cl{ y } x ∈ ∩ Ny ja y ∈ ∩ Nx ∩Nx = ∩ Ny x ∈ cl{ y } ja x ∈ ∩ Ny x kuuluu jokaiseen avoimeen joukkoon, joka sisältää y:n, ja jokaiseen suljettuun joukkoon, joka sisältää y:n. verkko tai filtteri suppenee x :ään, jos ja vain jos se suppenee y: ään
Viitteet
Luokka:Topologia