Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x−1y−1xy.Humphreys, s. 148 Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.
Ominaisuuksia
Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioiden vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.
Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:
Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä on joukon
generoima aliryhmä. Aliryhmä
on ryhmän G derivaattaryhmä.Humphreys, s. 149 Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä, jos ja vain jos
Lähteet
Viitteet
Luokka:Ryhmäteoria