Ryhmän alkioiden ei-tyhjä osajoukko muodostaa aliryhmän, mikäli kaikilla ja kaikilla Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti
Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon ryhmän alkioiden osajoukko. Tällöin joukko on ryhmän aliryhmä, mikäli joukon binäärinen operaatio , joka saadaan asettamalla kaikilla on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja pari on ryhmä. Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.
Joukot ja ovat aina ryhmän aliryhmiä. Aliryhmää kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli ja , niin aliryhmää sanotan aidoksi ja merkitään
Ominaisuuksia Olkoon seuraavassa ja
Ryhmän neutraalialkio on myös aliryhmän neutraalialkio. Alkion käänteisalkio ryhmässä on myös sen käänteisalkio aliryhmässä Tulo jos ja vain jos Vastaavasti jos ja vain jos Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos , niin jos ja vain jos tai Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos on mielivaltainen indeksijoukko, jolla kaikilla , niin tällöin leikkaus
Jos , niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän aliryhmä, joka sisältää joukon . Tämä aliryhmä on ja sitä kutsutaan joukon generoimaksi aliryhmäksi.
Katso myös Sivuluokka Normaali aliryhmä Aliryhmäkriteeri Lagrangen indeksilause Sylowin lauseet
Kirjallisuutta
Luokka:Ryhmäteoria