vignette|upright=1.5|Les trois formes de coniques non dégénérées : la courbe fermée d’une ellipse (rouge), la courbe infinie d’une parabole (verte) et les deux composantes infinies d’une hyperbole (bleue), de même foyer et de même droite directrice (noire).
En géométrie euclidienne, une conique est une courbe plane algébrique, définie initialement comme l’intersection d'un cône de révolution (supposé prolongé à l’infini de part et d’autre du sommet) avec un plan. Lorsque le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône, la conique est dite non dégénérée et réalise l’une des trois formes de courbe suivantes : ellipse, parabole ou hyperbole (le cercle étant un cas particulier de l'ellipse, parfois appelé quatrième forme). Ces courbes sont caractérisées par un paramètre réel appelé excentricité.
Ces courbes apparaissent aussi comme les courbes planes définies par une équation de degré 2, dit autrement les lignes de niveau de fonctions quadratiques.
En dehors du cercle, chaque conique non dégénérée admet un axe de symétrie principal, sur lequel un point appelé foyer permet d’identifier la courbe comme le lieu géométrique des points satisfaisant une équation monofocale.
L’ellipse et l’hyperbole admettent aussi un axe de symétrie secondaire perpendiculaire à l’axe principal, définissant ainsi un deuxième foyer et permettant de redéfinir la conique par une équation bifocale.
Les intersections de cône par un plan pouvant être vues comme des projections coniques d'un cercle sur un plan, l'étude des coniques en géométrie projective permet d'obtenir des résultats puissants et donne lieu à l'étude des coniques projectives.
Les coniques sont d'un intérêt particulier en astronautique et en mécanique céleste, car elles décrivent la forme des orbites d'un système à deux corps sous l'effet de la gravitation.
Définitions métriques thumb|Différentes coniques obtenues comme intersection d'un cône de révolution et d'un plan selon l'inclinaison de celui-ci : cercle (rouge), ellipse (violet), parabole (vert), branche d'hyperbole (bleu). Le solide de droite est appelé cône d'Apollonius. Intersection d'un cône par un plan On obtient une conique en prenant l'intersection d'un plan avec un cône dont la courbe directrice est un cercle. On peut, dans l'étude, se limiter à l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.
Selon les positions relatives du plan de coupe et du cône de révolution, on obtient différents types de coniques :
thumb|upright=.6|Exemples de coniques dégénérées. Des coniques propres, quand le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d'inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône : si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture (angle formé par l'axe du cône et une génératrice), l'intersection est une hyperbole ; si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une parabole ; si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse ; dans le cas maximal où l'angle d'inclinaison du plan de coupe est droit, cette ellipse est même un cercle. Des coniques dégénérées, quand le plan contient le sommet du cône. Là encore, on distingue trois sortes de coniques dégénérées en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône : si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un couple de droites sécantes (deux génératrices du cône). si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à une seule droite (une des génératrices du cône là où le plan de coupe et le cône sont tangents) ; si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un seul point (le sommet du cône).
Définition par foyer, directrice et excentricité
La définition par foyer et directrice des coniques est encore appelée définition monofocale de ces coniques.
Définition
Dans un plan (p), on considère une droite (D) et un point F non situé sur (D). Soit un réel strictement positif.
On appelle conique de droite directrice (D), de foyer F et d'excentricité l'ensemble des points M du plan (p) vérifiant. :
où mesure la distance du point M au point F et mesure la distance du point M à la droite (D)
Le paramètre définit la forme de la conique, c'est-à-dire que deux coniques ayant même excentricité sont image l'une de l'autre par une similitude. Si , on obtient une courbe fermée et bornée (ellipse) (le cas particulier du cercle ne se prête pas à cette définition ; voir plus bas). Si , on obtient une courbe ouverte et infinie (parabole). Si on obtient une courbe possédant deux branches symétriques par rapport au point d'intersection de leurs asymptotes communes (hyperbole).
Toutes ces courbes possèdent comme axe de symétrie la droite passant par F et perpendiculaire à (D) appelé axe principal de la conique.
Équations cartésiennes
thumb|Coniques
On note K le projeté orthogonal du point F sur la droite (D) et h la distance de K à F (le produit s'appelle le paramètre de la conique depuis Pierre Hérigone).
Pour tout point O de l'axe principal, on peut construire le repère orthonormal où dans lequel F a pour abscisse .
Pour un point M de coordonnées on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :
ce qui implique en élevant au carré et en utilisant et :
soit après réduction :
où
Un choix judicieux de O permet de simplifier cette équation.
Centre du repère au sommet de la conique En prenant , le coefficient C s'annule et O est un point de la conique appelé sommet. L'équation s'écrit :
En particulier, dans le cas où , on retrouve l'équation caractéristique de la parabole :
.
Centre du repère au centre de la conique Dans le cas où est différent de 1, pour , le coefficient B s'annule et le point O est centre de symétrie de la conique. L'équation s'écrit :
dans laquelle on retrouve, en posant
les équations caractéristiques suivantes. : pour e < 1 — cas de l'ellipse pour e > 1 — cas de l'hyperbole Cas particulier du cercle Dans les équations précédentes, on trouve l'équation d'un cercle de rayon dans le cas où et (Remarquez que l'équation , pour fournit un ensemble de points réduit au seul point et que dans ce cas ) . On considère alors le cercle comme un cas particulier d'ellipse d'excentricité nulle, dont le foyer est situé au centre du cercle et dont la directrice est éloignée à l'infini (car ).
Équation polaire Dans le repère d'origine F et de direction , une telle conique a pour équation polaire. :
Réciproquement, toute courbe dont l'équation polaire dans un repère est :
où p est un réel non nul, et (A, B) un couple de réels différent de (0, 0), est une conique de foyer O, d'excentricité et d'axe la droite d'équation ..
Cette forme d'équation polaire est utile dans l'étude de la trajectoire des planètes.
Définition bifocale
L'ellipse peut être définie comme le lieu des points M dont la somme des distances MF et MF' à deux points fixes F et F', appelés foyers de l'ellipse, est constante et égale à une valeur fixée. Cette définition reste valable dans le cas du cercle, pour lequel les foyers sont confondus.
L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points M dont la valeur absolue de la différence des distances MF et MF' à deux points fixes F et F', appelés foyers de l'hyperbole, est constante et égale à une valeur fixée.
La parabole n'a pas de définition bifocale.
Cette propriété bifocale correspond à une autre définition d'une conique par un point et une courbe directriceV. Lespinard et R. Pernet, Géométrie : Cours Complet. Classe de mathématiques élémentaires, Lyon, André Desvigne, éd., 646 p., chap. XXX, (« Générations ponctuelles des coniques »), .http://iecl.univ-lorraine.fr/~Gerard.Eguether/zARTICLE/1L.pdf : l’ensemble des centres des cercles passant par un point fixe F et tangent à, soit un cercle fixe (C) ne passant pas par F, soit une droite fixe (D) ne contenant pas F, est une conique de foyer F et de courbe directrice (C) ou (D).
Si F est intérieur à (C), la courbe est une ellipse ; si F est extérieur à (C) la courbe est une hyperbole ; si la directrice est une droite, la courbe est une parabole.
En notant le centre du cercle (C) et son rayon (), on obtient en effet : dans le cas de l'ellipse, le cercle centré en M est tangent intérieurement à (C), et le point M vérifie ; dans le cas de l'hyperbole, le cercle (C) est tangent au cercle centré en M, soit intérieurement, et le point M vérifie , soit extérieurement, et le point M vérifie . On regroupe les deux cas par la condition . Les points F et F sont les foyers de la conique.
Quant à la parabole, on retrouve, pour le cercle centré en M passant par F et tangent à (D), l'égalité .
Liens entre les définitions
Définition monofocale et définition bifocale
Les paraboles admettent un et un seul couple foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et l'excentricité correspondante vaut 1.
Ellipses et hyperboles admettent exactement deux couples foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et ceux-ci correspondent à une même valeur de l'excentricité. Ils sont symétriques par rapport au centre de l'ellipse ou au point d'intersection des asymptotes de l'hyperbole. Ces foyers sont les points intervenant dans la définition bifocale.
Définition géométrique, foyers et directrices vignette|237x237px|vue en coupe des 2 sphères qui définissent les foyers de la conique, ici une ellipse (voir théorème de Dandelin) Les foyers et les directrices des coniques peuvent être déterminés géométriquement dans le cadre de la définition des coniques comme intersection d'un cône et d'un plan ne passant pas par le centre de celui-ci.
Il existe, selon l'orientation du plan par rapport à l'axe du cône, une (cas des paraboles) ou deux (cas des ellipses et des hyperboles) sphères tangentes à la fois au plan et au cône ; ce sont des sphères centrées sur l'axe, situées dans un même demi-cône (cas des ellipses) ou dans des demi-cônes opposés (cas des hyperboles).
Chacune de ces sphères définit l'un des foyers de la conique (c'est le point de tangence de la sphère et du plan) ainsi que la droite directrice associée (c'est l'intersection du plan de la conique et du plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône) ; c'est le théorème de Dandelin.
Définition algébrique Dans un espace affine muni d'un repère, on appelle conique tout ensemble de points M(x, y) vérifiant une égalité de la forme
où A, B, C, D, E, F sont des constantes Ces constantes sont à prendre dans le corps K (de caractéristique différente de 2 vu la définition choisie) associé à l'espace affine. telles que (A,B,C) ≠ (0,0,0).
L'ensemble des coniques est stable par transformation affine ou par changement de repère. Équation réduite en géométrie euclidienne Une conique étant donnée, avec son équation dans un repère quelconque, on cherche à déterminer un repère orthonormal dans lequel l'équation de la conique serait aussi simple que possible. On se place d'emblée dans le cas où l'équation est donnée dans un repère orthonormal, si ce n'est pas le cas, on peut s'y ramener par changement de base. On peut également éliminer le terme en en changeant de base par rotationClaude Deschamps, André Warusfel, Cours de mathématiques - , MPSI, PCSI, PTSI, Dunod, 1999, ..
En effet, les équations de changement de base, pour une rotation d'angle , sont :
Le coefficient devant s'écrit alors :
et si B est non nul, ce coefficient s'annule lorsque est un argument de
On suppose désormais que la conique a pour équation :
et l'on distingue trois éventualités.
Si AC > 0 Un changement d'origine en prenant O(− D/A,− E/C) permet d'éliminer les termes en x et y. La conique a pour équation dans ce nouveau repère :
Trois cas se présentent alors :