Théorème de l'élément primitif

En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, le théorème de l'élément primitif est un des théorèmes de base de la théorie des corps. Il stipule que toute extension finie séparable est simple, c'est-à-dire engendrée par un seul élément, appelé élément primitif.

Une extension algébrique L d'un corps K est dite séparable si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K). On démontre l'équivalence de cette définition avec la définition suivante : une extension finie est séparable si et seulement si le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture algébrique laissant invariant le corps de base est égal au degré de l'extension.

Le théorème de l'élément primitif, énoncé pour la première fois par Abel dans un mémoire posthumeFait rappelé par Galois dans son mémoire (voir les Œuvres, référence ci-dessous à la suite du Lemme III)., et démontré par Évariste GaloisŒuvres mathématiques d'Évariste Galois, publiée sous les auspices de la Société mathématique de France, Paris, 1897, Lemme III ., peut être utilisé pour simplifier l'exposé de la théorie de Galois, quoique la plupart des exposés modernes suivent la démarche indépendante d'Artin ; c'est d'ailleurs par ce théorème que commence la démonstration originale de Galois. À l'inverse, comme dans la méthode d'Artin, on peut regarder ce théorème comme une conséquence simple de cette théorie, fait lui aussi reconnu explicitement par GaloisVoir la section Histoire et usage..

Exemples explicites Dans certains cas simples d'extensions, on peut construire explicitement un élément primitif. Ainsi, prenons K = ℚ et L = (L est une extension séparable de K, voir ci-dessous) ; montrons que L = ℚ(α), avec Il est clair qu'il suffit de démontrer que est dans ℚ(α) (car = α – le sera alors aussi), or en développant l'équation = 3, on trouve = .

En général, en supposant que K est infini et que L est une extension finie et séparable sur K, la construction de van der Waerden (mentionnée plus bas dans cet article) assure que pour tout système de générateurs α, α, ... α, de L sur K, il existe un élément primitif de la forme θ = λα + ... + λα, les λ pouvant être choisis dans n'importe quelle partie infinie donnée de K. C'est une version améliorée d'un théorème démontré par Galois, selon lequel, si L est le corps de décomposition d'un polynôme P à coefficients dans K, il existe un élément primitif pour L/K de la forme θ = λα + ... + λα, les α étant les n racines de P (section La démonstration originale de Galois). Néanmoins, ces constructions restent toutes théoriques, à moins de disposer d'une représentation de l'extension L/K.

Le théorème de l'élément primitif assure que toute extension finie séparable possède un élément primitif. Un exemple d'extension qui n'en possède pas doit donc être cherché en caractéristique p. En voici un explicite : Soit K = , et L = . Alors [L : K] = p. Mais pour tout t dans L, t appartient à K (en caractéristique p, = ). Ce qui implique que [K(t) : K] divise p et donc L ≠ K(t). L'extension L/K ne peut donc être engendrée par un seul élément t de L.

Histoire et usage Le théorème de l'élément primitif, tout d'abord cité sans démonstration dans un mémoire posthume d'Abel, fut démontré et employé par Galois pour exposer sa théorie dans son mémoire de 1832. Cette démonstration ne fut publiée qu'en 1846 par Liouville, dans le Journal de mathématiques, avec le reste du mémoireFait rappelé par Picard dans la préface des Œuvres (référence ci-dessus)..

Il est, dans la théorie des corps, utilisé dans une quantité de théorèmes et de démonstrations. Mais l'exposition de tels résultats dépasse le cadre de cet article.

À quelques exceptions près, la méthode utilisée par Galois pour établir sa théorie, fondée sur le théorème de l'élément primitif, a généralement été abandonnée au profit de la démarche d'Artin, essentiellement fondée sur le décompte du nombre des extensions des monomorphismes dans les extensions finies. D'un point de vue épistémologique, on est en droit de s'interroger sur les raisons de l'abandon du théorème de l'élément primitif comme principe simplificateur de la théorie de Galois. D'un côté, la présentation de cette théorie au moyen du théorème de l'élément primitif peut être perçue comme plus simple et plus légère pour l'esprit, lui offrant toute la simplicité conceptuelle possibleVoir les remarques de .. D'un autre côté, la démonstration de ce théorème, si on la veut complètement indépendante de la méthode d'Artin, peut sembler devoir faire intervenir un certain nombre de résultats de la théorie des équationsMais voir la section consacrée à la construction de van der Waerden et à sa démonstration. (le théorème des fonctions symétriques par exemple), ainsi qu'un jeu d'une finesse assez complexe entre les variablesOn pourra observer la dextérité remarquable de Galois dans la section Preuve originale de Galois.. La méthode d'Artin, qui ne fait pas intervenir de lemmes extérieurs et dont les démonstrations sont relativement faciles à suivre, peut alors être perçue comme plus rigoureuse et d'une simplicité démonstrative supérieureVoir aussi la note (13) de ..

D'autre part, on ne peut ignorer l'aspect théorique de la démarche d'Artin : plutôt que d'utiliser des théorèmes ad hoc pour comprendre la géométrie d'un objet, un théoricien préfèrera en général obtenir ces théorèmes comme une conséquence de l'étude de cette géométrie. En l'occurrence, il est plus satisfaisant, d'un point de vue purement théorique, d'obtenir des théorèmes tels que le théorème des fonctions symétriques ou celui de l'élément primitif comme conséquence de la théorie de Galois, établie au moyen de considérations géométriques seulement (groupe d'automorphismes), que de déduire la théorie de ces théorèmes.

On doit d'ailleurs observer que l'idée essentielle de cette démarche avait été parfaitement reconnueLa pièce J dans l'ouvrage de Tannery est ce qui reste d'une démonstration par induction du théorème fondamental de Galois par Galois, ce qui fait dire à Tannery qu'elle est antérieure à la démonstration du premier mémoire publiée par Liouville (Manuscrits de Évariste Galois, publié par Jules Tannery, Paris, 1908, Gauthier-Villars, ). par Galois, comme le montre ce commentaire de Galois lui-même, faisant suite à la démonstration du théorème principal de sa théorie : « Je dois observer que j'avais d'abord démontré le théorème autrement, sans penser à me servir de cette propriété très simple des équations, propriété que je regardais comme une conséquence du théorème. C'est la lecture d'un mémoire [fragment de ligne indéchiffrable, possiblement « d'Abel » ou « de Libri »] qui m'a suggéré [fragment de ligne indéchiffrable, reconstitution possible : « l'idée de la démonstration. »] »Cette note de Galois est absente de la plupart des éditions des œuvres de Galois. C'est dans un feuillet détaché et à demi déchiré que Tannery a retrouvé un premier jet de la preuve de la proposition I (l'équivalent de ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème de Galois), dont une partie sera réintroduite par Galois dans son premier mémoire. Le feuillet commence par la démonstration de la proposition dans le cas particulier où toutes les racines du polynôme sont fonctions rationnelles d'une seule d'entre elles, autrement dit, dans le cas où cette racine est un élément primitif du corps de décomposition du polynôme. Cette démonstration est d'ailleurs biffée, ainsi que les mots « Revenons au cas général ». Ensuite, Galois passe à la démonstration du cas général en utilisant le théorème de l'élément primitif. C'est au bas de ce feuillet que Galois a écrit la phrase citée. Voir les commentaires de Tannery dans Manuscrits de Évariste Galois, publié par Jules Tannery, Paris, 1908, Gauthier-Villars, .

Énoncé du théorème et caractérisation des extensions simples Le théorème de l'élément primitif s'énonce en quelques mots :

On peut se demander en général comment caractériser les extensions finies simples. La réponse est fournie par un théorème dû à Artin The Primitive Element Theorem sur le site mathreference.com.., qui est souvent présenté sous un même titre, ou indifférencié du théorème de l'élément primitif :

Contrairement à une certaine opinion, ce théorème, qu'on nomme parfois « caractérisation des extensions simples d'Artin » ou « théorème de l'élément primitif d'Artin », ne tend pas à remplacer le théorème de l'élément primitif proprement dit, quoiqu'il serve souvent à le démontrer. En effet, ces deux théorèmes ne sont pas interchangeable dans les applications : le théorème de l'élément primitif proprement dit est un instrument théorique et pratique précieux, de loin plus employé que le théorème d'Artin ; inversement, même dans le cas séparable, il est des circonstances où la caractérisation d'Artin permet d'obtenir aisément la simplicité d'une extension, alors que ce serait plus difficile ou impossible avec le théorème de l'élément primitif (on pourra s'en convaincre par l'exemple ci-après). D'ailleurs, si on peut facilement démontrer le théorème de l'élément primitif au moyen du théorème d'Artin, cette déduction n'est pas plus simple que des démonstrations directes telles que celle de van der Waerden présentée plus bas.

Une autre caractérisation des extensions simples, beaucoup moins connue, a été rédigée par van der Waerden dans son célèbre ouvrage..

Supposons que L/K soit simple, engendrée par un élément primitif θ. Vu que l'extension L/L est radicielle, le polynôme minimal de θ sur L est de la forme , avec a ∈ L. Clairement, p = car L = = . Le nombre p est aussi l'exposant de θ dans A, sans quoi θ satisferait une équation algébrique de la forme , de degré r < p. Enfin, pour tout x ∈ L, x ∈ L, car x = avec P ∈ , et donc x = ∈ LEn caractéristique p, on a toujours .. Ainsi p = p et .

Réciproquement, en dénotant encore = p, supposons que d = e. Grâce au théorème de l'élément primitif, on sait qu'il existe un élément primitif θ de L/K. D'un autre côté, dans tout groupe abélien d'exposant fini, il existe un élément dont l'exposant est égal à l'exposant du groupe. Soit donc w un élément de L˟ d'exposant p dans A : w = a ∈ L. Comme précédemment, le polynôme minimal de w sur L est forcément égal à , sans quoi w serait d'exposant < p dans A. Par conséquent L = = . On voit que L est engendré sur K par deux éléments, dont un seulement est inséparable sur K. La construction de van der Waerden, exposée plus bas, assure alors que l'extension L/K est simple.

Exemples d'application du théorème de l'élément primitif

D'abord, la théorie de Galois, y compris les théorèmes d'extension et de décompte des morphismes de corps, peut être largement simplifiée par ce théorème.

En outre, les applications théoriques et pratiques abondent dans la littérature. Voici un exemple :

Car si l'extension L/K était infinie, elle contiendrait des sous-extensions (séparables) finies de K de degré arbitrairement grand, donc etc.

Exemple d'application de la caractérisation des extensions simples d'Artin

En effet, si cette sous-extension contenait un nombre infini de corps intermédiaires, il en serait de même pour toute sur-extension finie, qui ne pourrait donc être simple.

Exemple d'extension finie contenant un nombre infini d'extensions intermédiaires C'est peut-être un fait surprenant qu'une extension finie puisse contenir un nombre infini de sous-extensions. Pour s'en convaincre, reprenons l'exemple de la première section. On pose comme précédemment K = et L = . Considérons les éléments de la forme t = , où c varie dans un sous-ensemble infini de K, et montrons que les corps intermédiaires K(t) et K(t) sont distincts lorsque a et b le sont. Si tel n'était le cas, on aurait = pour un certain couple (a,b), donc il existerait un polynôme P(T) à coefficient dans K tel que t = . En tenant compte que , on peut supposer que P est de degré au plus .