vignette|Otto Hölder, entre 1883 et 1885 En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions , comme les espaces de suites . C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

Énoncé

Plus généralementSi , ║ ║ n'est pas une norme en général, mais cela n'intervient pas dans la démonstration., pour et défini par , si et alors et .

De plus, lorsque et sont finis, il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe et non simultanément nuls tels que p.p.

Démonstration Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de YoungVoir par exemple (pour la seconde méthode) ou (pour les deux) .

Exemples

Inégalité de Cauchy-Schwarz L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour avec et pour tous vecteurs (ou de ), l'inégalité

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si sont respectivement dans les espaces de suites , alors la suite « produit terme à terme » est dans .

Cas extrémal

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par .

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme de , que l'on peut supposer non-nulle. Par homogénéité, supposons même que

Si , la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction définie sur parappartient à où sa norme vaut et l'on a Si , soient et , de mesure non-nulle puisque . L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un , contenu dans et de mesure finie non-nulle. La fonction définie sur par appartient alors à où sa norme vaut et l'on aLa borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à pour tout , ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à .

Remarques sur le cas Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si est la suite de définie par : , alors pour toute suite non-nulle de norme inférieure ou égale à dans , Si est de mesure infinie mais ne contient aucun de mesure finie non-nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul qui soit strictement inclus dans est ∅) et si est la fonction indicatrice de , alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que .

Applications

L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces associés à une mesure finie de masse totale :(Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.) Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de si ≥ 1. Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de est (avec ) si , remarque : ., et aussi si = 1 quand la mesure est σ-finie.

Généralisation

L’inégalité de Hölder avec se généralise immédiatement à fonctions, par récurrence :

Notes et références

Bibliographie

Holder Catégorie:Analyse convexe