En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en de la fonction zêta de Riemann : Les décimales figurent dans la .. Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.
On n'en connaît pas de forme fermée.
Décimales connues Cette constante était connue avec en 1998Voir les messages de Sebastian Wedeniwski et Simon Plouffe : et ., . en 2003 et jusqu'à en 2015..
Occurrences Ce nombre apparaît dans diverses situations : dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ; en théorie des graphes. ; en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ; en théorie des nombres : pour tout entier , la probabilité pour que entiers strictement positifs pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à (cf. § « Représentation de et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, Suite de l'OEIS..
Irrationalité
Le nombre est irrationnel..
On ne sait pas s'il est transcendant..
Par comparaison, pour tout entier , le nombre est transcendant car commensurable à (par exemple : ).
On peut rappeler la conjecture selon laquelle le nombre est irrationnel, voir la .
Représentations par des séries
Séries classiques ., (1.11). (avec , où les sont les nombres de Bernoulli). , où est la fonction lambda de Dirichlet.. , où est la fonction êta de Dirichlet. (). , où est le -ième nombre harmonique et où représente une valeur zêta multiple. , (1.5). .
Convergence rapide Il est à noter que contrairement aux autres formules de ce paragraphe, la première a été déterminée dès le , en 1830, et ce par Clausen : . Formule trouvée par , puis redécouverte et utilisée par Apéry. . Trouvée par , cette série donne (asymptotiquement) . . Trouvée par , cette série donne (asymptotiquement) . . C'est cette formule, tirée de , que Wedeniwski a utilisée pour son record de 1998 de calcul des décimales de cette constante. Cette série donne (asymptotiquement) . .
Autres Les Cahiers de Ramanujan, formules 25.1 et 25.3. ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes. : ; .
SrivastavaVoir . a collecté de nombreuses séries qui convergent vers .
Représentations par des intégrales
Formules simples La première est issue de la définition de la fonction par une série et, les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction : ; .
Au moyen d'expressions trigonométriques, on obtient :
,
à comparer avec la formule suivante donnant la constante de Catalan :
Formules plus compliquées
. . . . . . . . , ex. 30.10.1. , et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma, de ses dérivées, et de la fonction digamma.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann Nombres premiers issus de troncature de cette constante Bibliographie
Apery Catégorie:Fonction zêta