La mécanique des fluides est un domaine de la physique consacré à l’étude du comportement des fluides (liquides, gaz et plasmas) et des forces internes associées. C’est une branche de la mécanique des milieux continus qui modélise la matière à l’aide de particules assez petites pour relever de l’analyse mathématique, mais assez grandes par rapport aux molécules pour être décrites par des fonctions continues.
Elle comprend deux sous-domaines : la statique des fluides, qui est l’étude des fluides au repos, et la dynamique des fluides, qui est l’étude des fluides en mouvement.
Historique
Principales branches Statique des fluides
L'hydrostatique, ou statique des fluides, est l'étude des fluides immobiles. Ce domaine a de nombreuses applications comme la mesure de pression et de masse volumique. Elle offre des explications physiques à de nombreux phénomènes de la vie quotidienne, comme la poussée d’Archimède ou les raisons pour lesquelles la pression atmosphérique change avec l'altitude.
L'hydrostatique est fondamentale pour l'hydraulique, l'ingénierie des équipements de stockage, de transport et d'utilisation des fluides. Elle est également pertinente pour certains aspects de la géophysique ou de l'astrophysique (par exemple, pour comprendre la tectonique des plaques et les anomalies du champ gravitationnel de la Terre), pour la météorologie, la médecine (dans le contexte de la pression artérielle) et de nombreux autres domaines.
Dynamique des fluides
La dynamique des fluides, ou hydrodynamique, est une sous-discipline de la mécanique des fluides qui traite de l'écoulement des fluides, soit les liquides ou les gaz en mouvementBatchelor, C. K., & Batchelor, G. K. (2000). An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press.. La dynamique des fluides offre une structure systématique qui englobe des lois empiriques et semi-empiriques, dérivées de la mesure du débit et utilisées pour résoudre des problèmes pratiques. La solution à un problème de dynamique des fluides implique généralement le calcul de diverses propriétés du fluide, telles que la vitesse, la pression, la densité et la température, en tant que fonctions de l'espace et du temps.
La dynamique des fluides couvre plusieurs sous-disciplines comme : l'aérodynamiqueBertin, J. J., & Smith, M. L. (1998). Aerodynamics for engineers (Vol. 5). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.Anderson Jr, J. D. (2010). Fundamentals of aerodynamics. Tata McGraw-Hill Education.Houghton, E. L., & Carpenter, P. W. (2003). Aerodynamics for engineering students. Elsevier.Milne-Thomson, L. M. (1973). Theoretical aerodynamics. Courier Corporation. (l'étude des gaz en mouvement) ; l'hydrodynamiqueMilne-Thomson, L. M. (1996). Theoretical hydrodynamics. Courier Corporation.Birkhoff, G. (2015). Hydrodynamics. Princeton University Press. (l'étude des liquides en mouvement).
S'agissant d'écoulements de gaz incompressibles (ou assimilés), l'aérodynamique rejoint précisément l'hydrodynamique (et vice-versa), c'est-à-dire que les raisonnements théoriques et les mesures expérimentales qui valent pour les liquides valent aussi pour les gaz (incompressibles ou assimilés) et vice et versa. Ainsi peut-on calculer théoriquement avec les mêmes méthodes les efforts suscités par des écoulements liquides ou gazeux (incompressibles ou assimilés) ; ainsi encore peut-on déterminer expérimentalement les caractéristiques de portance et de traînée de fusées dans l'air (image de gauche) ou de sous-marins dans l'eau (image de droite).
La dynamique des fluides a un large éventail d'applications, dont le calcul des forces et moments s'appliquant sur les aéronefs, la détermination du débit massique de pétrole dans les pipelines, la prévision de l'évolution des conditions météorologiques, la compréhension des nébuleuses dans l'espace interstellaire et la modélisation des explosions. Certains principes de dynamique des fluides sont utilisés dans l'ingénierie du trafic et la dynamique des foules.
Échelles et nature du problème hydrodynamique Niveau microscopique Au niveau le plus bas de la modélisation, on décrit le milieu par position et vitesse de chaque particule constitutive et le potentiel d'interaction entre elles. Cette approche est limitée par la quantité d'information qu'elle suppose. Elle est utilisée en pratique dans les méthodes de dynamique moléculaire, où elle constitue une véritable expérience numérique possible pour un liquide comme pour un gaz, et en théorie pour des tentatives de construction ab initio d'un système formel de description macroscopique du milieu. Ce deuxième type d'approche est extrêmement difficile et peu de résultats ont été obtenus depuis les travaux de Jean Leray. En particulier, l'existence de solutions régulières des équations de Navier-Stokes fait l'objet du prix Clay.
Pour les gaz et à un niveau moins détaillé on se contente de décrire la distribution statistique des vitesses et éventuellement de tous les autres degrés de liberté (énergie interne, rotation et vibration dans le cas de molécules). Ludwig Boltzmann a ainsi réussi à écrire l'équation cinétique qui porte son nom. Cette fonction du temps, de la position et de la vitesse peut être calculée à partir d'outils comme la simulation directe Monte Carlo ou la méthode de gaz sur réseau particulièrement bien adaptée aux milieux poreux. Il s'agit de calculs coûteux en raison de la dimension 7 du problème. Pour cette raison on utilise généralement un potentiel d'interaction peu réaliste physiquement mais conduisant à des résultats acceptables.
Niveau mésoscopique Par ce vocable on entend la description de phénomènes descriptibles à une échelle grande devant la précédente mais petite devant l'échelle du continu.
Concept de particule élémentaire du fluide La particule fluide décrit un fluide à l'échelle mésoscopique : c'est un volume de dimension suffisamment petite pour que les propriétés du fluide ne varient pas spatialement dans la particule et suffisamment grand pour qu'une quantité importante de molécules soient comprises dedans de manière à moyenner les fluctuations statistiques..
On peut effectuer dans cette particule un bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie en utilisant les flux correspondants sur les limites du domaine. Cette approche conduit à l'écriture des équations de conservation correspondantes et, par passage à la limite, aux équations descriptives du phénomène. Cette méthode est aussi la base de la description numérique, le volume élémentaire étant alors la maille élémentaire du calcul.
Suppression des détails de taille intermédiaire La géométrie étudiée peut comprendre des détails dont la prise en compte explicite va rendre le problème coûteux, par exemple une rugosité de la surface ou le détail de la géométrie d'un milieu poreux. Dans ce dernier cas les méthodes bien connues de la prise de moyenne volumique ou de l'homogénéisation permettent le calcul de quantités intervenant sous forme de coefficients comme le coefficient de diffusion dans l'équation de Darcy. Dans le cas d'une rugosité l'homogénéisation aboutit à l'écriture d'une relation de saut à la paroi, c'est-à-dire une relation liant toute valeur à sa dérivée spatiale.
On peut faire également entrer dans cette catégorie les phénomènes de raréfaction dans un choc ou une couche pariétale. Dans ces régions d'espace les équations du continu sont invalides sur une distance de quelques libres parcours moyens. On peut généralement les ignorer. Lorsque ce n'est pas les cas leur modélisation aboutit comme précédemment à des équations de saut. Les relations de Rankine-Hugoniot en sont un exemple.
Enfin, et ce n'est pas le moindre problème, on peut faire disparaître toutes les fluctuations d'un écoulement turbulent par des méthodes de moyennage très diverses, pouvant ramener le problème à une simple diffusion équivalente. Là aussi le but est de simplifier le calcul, possible par la simulation directe, mais coûteux.
Niveau macroscopique Le niveau macroscopique résulte donc d'une simplification drastique de tous les détails du problème, lesquels sont tout de même présents au travers des coefficients qui interviennent dans les équations descriptives, des conditions aux limites et de l'équation d'état du milieu.
Compressible et incompressible Ces notions qui séparent nettement deux types d'écoulements ont une origine microscopique : le caractère compressible généralement associé à un gaz est lié au fait qu'un tel milieu est formé d'objets très espacés ayant des interactions rares, caractérisées par un potentiel particule-particule. Cela est vrai même dans le cas de milieux contenant des espèces chargées en faible proportion, où les électrons ne sont pas totalement libres et accompagnent (statistiquement) les ions (diffusion ambipolaire). La connaissance de ces potentiels, aujourd'hui d'origine spectroscopiquePendant longtemps, une approche intermédiaire a consisté à déduire le potentiel (par exemple de type Lennard-Jones) de la mesure de viscosité et de calculer les autres coefficients., est suffisante pour permettre le calcul de toutes les propriétés de transport du milieu : coefficients de diffusion binaire et thermique (équations de Stefan-Maxwell), viscosités dynamique et volumique, conductivité. Ce caractère de milieu peu dense n'est pas affecté par un changement de pression donc une variation du libre parcours moyen entre deux collisions ; le caractère d'incompressibilité associé aux liquides est lié aux liaisons que voit une particule dans un tel milieu. Elle est en effet liée à plusieurs voisins, même si ces liaisons ne sont pas aussi strictes que dans un solide. Ce caractère interdit une approche formelle comme dans les gaz : les propriétés de transport sont mesurées, la théorie ne permettant que d'expliquer les variations avec la température par exemple. L'incompressibilité des liquides n'est cependant pas absolue : une pression très élevée de quelques centaines de GPa telle que rencontrée dans le noyau terrestre met en évidence une variation de masse volumique des composants liquides ; dans la pratique, pourtant, on peut souvent considérer les gaz comme incompressibles, du moins lorsqu'ils s'écoulent à un nombre de Mach inférieur à 0,4 (ou plus, selon la précision requise). Cette licence d'ingénieur ne signifie pas que, dans ces circonstances, les gaz soient vraiment incompressibles (ils sont compressibles) mais elle vaut parce que leur compressibilité modifie assez peu les conditions de calcul de leur écoulement (et des forces qui vont avec, pour l'ingénieur).
Équations Les équations de Navier-Stokes pour un fluide simple (newtonien) sont la pierre angulaire du domaine, à partir desquelles on déduit de nombreuses autres lois.
Ces équations sont écrites dans un repère fixe, avec deux expressions des différentes grandeurs en fonction de la position : soit en fonction des coordonnées actuelles dans le repère (description eulérienne), soit en fonction des coordonnées occupées à un certain instant initial (description lagrangienne). Dans le premier cas le vecteur représente la vitesse à l'instant et au point de coordonnées () (mais à différents instants il ne s'agira pas de la même portion de matière), dans le second cas représente la vitesse à l'instant de la matière qui à l'instant initial occupait la position (et qui à l'instant se trouve en un point différent ). On utilise le plus souvent la description eulérienne.
Équations de base On peut obtenir ces équations par au moins deux voies : à partir des relations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie ; à partir de l'équation de Boltzmann décrivant l'évolution moléculaire par la méthode de Chapman-Enskog. Cette méthode n'est utilisable que pour les gaz en raison de la simplicité relative des interactions au niveau microscopique dans ce cas ;