En mathématiques, la conjecture de Herzog-Schönheim est un problème de combinatoire et de théorie des groupes, dont la résolution généraliserait à un groupe quelconque le théorème de Mirsky-Newman sur les systèmes couvrant, valable pour le groupe ℤ des entiers relatifs.
Énoncé Soient G un groupe et {aG, … , aG} (k > 1) une partition finie de G par des classes à gauches suivant des sous-groupes G, … , G. Marcel Herzog et Jochanan Schönheim ont conjecturé que les indices (finisD'après un théorème de 1954 de Bernhard Neumann, si {aG, … , aG} forme un système couvrant d'un groupe G alors le sous-système correspondant aux G d'indices finis aussi, comme le rappelle .) [G:G], … , [G:G] ne peuvent être tous distincts.
Groupes pyramidaux Berger, Felzenbaum et Frankel ont démontré cette conjecture dans le cas où G est un groupe fini « pyramidal », c'est-à-dire qu'il existe une suite de sous-groupes
telle que pour chaque k < n, l'indice [G:G] soit le plus petit facteur premier de l'ordre de G (ce qui implique que G est normal dans G, donc que G est résoluble).
Tout groupe fini super-résoluble est pyramidal et tout groupe nilpotent de type fini est super-résoluble.
Sous-groupes sous-normaux Plus généralement, Zhi Wei Sun a démontré la conjecture sous la seule hypothèse que les sous-groupes G sont sous-normaux dans G, (ce qui ne nécessite plus que G soit fini, et s’applique en particulier à G = ℤ), et en supposant seulement que les classes aG forment, au lieu d'une partition, un système « exactement couvrant », ou « uniforme », c'est-à-dire que le nombre de ces classes auxquelles un élément de G appartient est indépendant de cet élément, mais pas forcément égal à 1.
Il utilise entre autres le lemme de base suivant : si G, … , G sont des sous-groupes sous-normaux d'indices finis dans G, alors
Notes et références
Voir aussi
Catégorie:Théorie des groupes Herzog