En mathématiques, les fonctions de Legendre, notées P (première espèce) et Q (seconde espèce), ainsi que les fonctions associées de Legendre correspondantes, notées P et Q, sont des généralisations des polynômes de Legendre et des polynômes associés de Legendre , à des valeurs non entières de et .
Définition Les fonctions associées de Legendre sont les solutions de l’équation générale de Legendre:
où et sont en général des nombres complexes appelés respectivement le degré et l’ordre de la fonction associée de Legendre. Le cas des fonctions de Legendre correspond à ; si par surcroît est un entier positif, ces fonctions se réduisent aux polynômes orthogonaux de Legendre.
Les polynômes associés de Legendre correspondent, eux, au cas où et sont des entiers (positifs pour ).
Expressions La fonction associée de Legendre de première espèce P s'exprime en fonction de la fonction hypergéométrique :
où est la fonction gamma.
L'équation générale de Legendre étant du second ordre, elle admet une autre solution, dite de seconde espèce, notée , et définie par :
Représentations intégrales Les fonctions de Legendre peuvent s'exprimer sous forme d'intégrales de contour. Ainsi on a :
où le contour est défini comme celui allant des points 1 à z des parties réelles croissantes, sans entourer le point –1. Pour réel, cette représentation devient :
Références Snow, Chester, Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory, U. S. Government Printing Office, Washington, D.C.,National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, 1942. Disponible à l'adresse .
Liens externes
Catégorie:Fonction spéciale * Hypergeometrique