En géométrie, le théorème fondamental de la géométrie affine est un théorème qui caractérise algébriquement les bijections entre espaces affines qui préservent l'alignement des points. Avec quelques hypothèses, il dit qu'une bijection entre deux espaces affines qui préserve la relation d'alignement est une application semi-affine, donc presque une application affine (et donc, en particulier, affine si les espaces affines sont réels).

Applications semi-affines Applications semi-linéaires Soient et deux corps (commutatifs ou non), et des espaces vectoriels sur et respectivement. On dit qu'une application de dans est semi-linéaire si est un morphisme de groupes additifs de dans (c'est-à-dire si quels que soient et dans ) et s'il existe un isomorphisme de corps de sur tel que, pour tout élément de et pour tout vecteur de , on a ; si est non identiquement nulle, il existe un unique tel isomorphisme de corps de sur , et on dit alors que est σ-linéaire, et que est associé à . On appelle isomorphisme semi-linéaire de sur ou, si et , automorphisme semi-linéaire de , toute application semi-linéaire bijective de sur .

Exemples Si et si est l'identité de , les applications -linéaire de dans ne sont autres que les applications K-linéaires de dans . Si (corps des nombres réels), alors l'identité de est l'unique automorphisme de corps de , et donc les applications semi-linéaires de dans ne sont autres que les applications linéaires (ou plus précisément -linéaires) de dans . On suppose que et que est un corps premier, c'est-à-dire que (corps des nombres rationnels) ou que , avec un nombre premier voir l'article corps fini). Alors l'identité de est l'unique automorphisme de corps de , et les applications semi-linéaires de dans ne sont autres que les applications -linéaires de dans . On suppose que (corps des nombres complexes) et que est la conjugaison de . Alors les applications -linéaires de dans sont dites antilinéaires. Si et sont de dimension finie, les seules applications semi-linéaires non constantes de vers qui sont continues sont les applications -linéaires et les applications antilinéaires (on considère ici les topologies canoniques, pour lesquelles les isomorphismes d'espaces vectoriels sur sont des homéomorphismes).

Applications semi-affines Soient et des espaces affines attachés respectivement aux espaces vectoriels et . Une application est dite semi-affine s'il existe une application semi-linéaire telle que, pour tout point et pour tout vecteur . Dans ce cas, est déterminée par et est dite associée à . Si n’est pas constante, alors n'est pas identiquement nulle (et réciproquement) ; l’unique isomorphisme de corps alors associé à est dit associé à et on dit que est -affine. On appelle isomorphisme semi-affine de sur ou, si , automorphisme semi-affine de , toute application semi-affine bijective de sur . À noter que si et est l'identité de , alors les applications -affines de dans ne sont autres que les applications affines de dans .

Théorème fondamental de la géométrie affine

Dans cette partie, on note et des corps, et des espaces vectoriels sur et respectivement de dimensions (finies ou non) supérieures ou égales à 2, et des espaces affines attachés à et respectivement et une application de dans .

Voici un théorème qui caractérise les applications semi-affines.

Théorème. Si est une injection (ce qui est le cas si est une bijection), pour que soit semi-affine (et donc affine si ), il faut et il suffit que vérifie les conditions suivantes : L'image par de toute droite de est une droite de ; L'image par de deux droites parallèles quelconques de sont deux droites parallèles de .

Théorème fondamental de la géométrie affine. On suppose que et sont isomorphes, que est bijective et que les dimensions de et sont finies et égales. Si et (c'est-à-dire si et ont trois éléments ou plus), pour que soit semi-affine (et donc affine si ), il faut et il suffit que, quels que soient les points alignés de , soient des points alignés de . Si K = L = F2 (donc si et ont deux éléments 0 et 1), pour que soit semi-affine, il faut et il suffit que, quelles que soient les droites parallèles et de , et soient des droites parallèles de (dans ce cas les droites ne sont autres que les paires de points, et donc trois points distincts ne peuvent être alignés).

Voici des variations du théorème fondamental de la géométrie affine.

Théorème. On suppose que et ont au moins trois éléments. Si l'image de contient trois points non alignés de et si l'image par de toute droite de est une droite de ou est réduite à un point, alors est semi-affine (et donc affine si K = L = R). Autre formulation : si l'image de contient trois points non alignés de et si, quels que soient les points de , l'image par de la variété affine de engendrée par est la variété affine de engendrée par , alors est semi-affine.

Théorème. On suppose que et sont isomorphes, que et ont au moins trois éléments, que et sont de dimensions finies (égales ou non) et que est une surjection. Si, quels que soient les points alignés de , ) sont des points alignés de , alors est semi-affine.

Voir aussi

Article connexe En géométrie projective, il y a un théorème analogue : le théorème fondamental de la géométrie projective.

Bibliographie Driss Abouabdillah, Contributions en Géométrie Marcel Berger, Géométrie, Nathan, 1990. Jean Frenkel, Géométrie pour l'élève-professeur, Hermann, Paris, 1977. Jean Fresnel, Méthodes modernes de géométrie, Hermann, Paris, 1996. Jacqueline Lelong-Ferrand, Les fondements de la géométrie projective, Presses universitaires de France, Paris, 1985. Patrice Tauvel, Géométrie, Dunod, Paris, 2005.

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