En mathématiques, le problème des moments de Hausdorff est celui des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une suite (m) de réels soit la suite des moments

d'une mesure de Borel sur le segment [0, 1].

Le nom du problème est associé au mathématicien allemand Felix Hausdorff.

Dans le cas m0 = 1, ceci équivaut à l'existence d'une variable aléatoire réelle X dans l'intervalle [0, 1] telle que pour tout n, l'espérance de X soit égale à mn.

Ce problème est voisin du problème des moments de Stieljes défini sur l'intervalle , celui de Toeplitz sur et celui de Hamburger sur mais à la différence de ceux-ci, la solution, si elle existe, est unique.

Il a été étendu aux espaces bidimensionnels. et aux suites tronquées.

Séries monotones Hausdorff a montré.. qu'il existe une solution si et seulement si la suite (m) est complètement monotone, c'est-à-dire si ses suites de différences satisfont

pour tout n, k ≥ 0, où Δ est l'opérateur différence finie donné par

Une telle condition est nécessaire, en effet . Par exemple .

L'unicité de se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass :

Suite tronquée

Les problèmes d'approximation en physique conduisent à l'usage de suites tronquées . Dans ce cas, si l'on définit les matrices de Hankel suivantes

la condition nécessaire et suffisante d'existence sur est, cités par . pour

pour

Références

Voir aussi Ouvrages

Article connexe Méthode des moments (physique statistique)

Catégorie:Physique statistique Hausdorff