thumb|Hyperbole obtenue comme intersection d'un cône et d'un plan parallèle à l'axe du cône.Si l'on incline légèrement le plan, l'intersection sera encore une hyperbole tant que l'angle d'inclinaison reste inférieur à l'angle que fait une génératrice avec l'axe du cône. En mathématiques, une hyperbole est une courbe plane obtenue comme la double intersection d'un double cône de révolution avec un plan. Elle peut également être définie comme conique d'excentricité supérieure à 1, ou comme ensemble des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante.

Le nom d'« hyperbole » (application par excès) lui est donné par Apollonios de Perga, remarquant, dans sa construction, que l'aire du carré construit sur l'ordonnée excède l'aire d'un rectangle de hauteur fixe construit sur l'abscisse (voir section Histoire).

Une hyperbole est constituée de deux branches disjointes symétriques l'une de l'autre et possédant deux asymptotes communes.

On peut rencontrer l'hyperbole dans de nombreuses circonstances :

lors de la représentation graphique de la fonction inverse, et de celle de toutes les fonctions qui lui sont associées : ,

dans l'ombre créée par le pourtour (ou un abat-jour circulaire) d'une source de lumière sur un mur

dans la trajectoire de certains corps dans l'espace dans les interférences produites par deux sources d'ondulations de même fréquence dans la courbe suivie, pendant une journée, par l'extrémité de l'ombre du gnomon d'un cadran solaire de style polaire.

L'hyperbole intervient dans d'autres objets mathématiques comme les hyperboloïdes, le paraboloïde hyperbolique, les fonctions hyperboliques (sinh, cosh, tanh). Sa quadrature, c'est-à-dire le calcul de l'aire comprise entre une portion d'hyperbole et son axe principal, est à l'origine de la création de la fonction logarithme. thumb|Arc d'hyperbole dessinée par l'ombre créée par une lampe.

Définitions géométriques Intersection d'un cône et d'un plan On considère un cône de révolution engendré par la rotation d'une droite () autour d'un axe () et on appelle l'angle géométrique entre ces deux droites. On prend d'autre part un plan dont la normale fait avec l'axe () un angle supérieur à . Si le plan ne passe pas par , il coupe le cône suivant une hyperbole. Si le plan passe par , il coupe le cône selon deux droites sécantes en .

Lorsqu'une lampe munie d'un abat-jour est placée non loin d'un mur vertical, la courbe qui délimite, sur le mur, la zone éclairée et la zone ombragée est un arc d'hyperbole. En effet, la lumière est diffusée selon un cône — les rayons lumineux partent du centre de l'ampoule et s'appuient sur le cercle de l'ouverture de la lampe — coupé par un plan parallèle à l'axe du cône — le mur.

left|thumb|Principe des lignes de déclinaison d'un cadran solaire. C'est également ce principe qui explique l'existence d'hyperboles sur certains cadrans solaires. Au cours d'une journée, les rayons du soleil passant par la pointe du gnomon dessinent une portion de cône dont l'axe, parallèle à l'axe de rotation de la terre, passe par la pointe du gnomon. L'ombre de cette pointe, sur le plan du cadran solaire dessine alors une portion d'hyperboleDu moins cela est vrai pour tous les cadrans horizontaux situés entre les cercles polaires et tous les cadrans verticaux situés au-delà des tropiques., appelée arc diurne ou ligne de déclinaison, intersection du cône et d'un plan. Au cours de l'année, l'angle du cône varie. Aux équinoxes, il est de , le cône est un plan et l'ombre dessine une droite. Aux solstices, l'angle est de et l'ombre dessine une hyperbole.

La construction de l'hyperbole comme section d'un cône et d'un plan peut être réalisée à l'aide d'un compas parfait.

Définition par foyer et directrice thumb|left|upright=1.2|Hyperbole d'excentricité 3/2, avec son foyer F, sa directrice (D), ses asymptotes et son cercle principal. La distance MF est toujours égale à une fois et demi la distance MH. Soient une droite et un point n'appartenant pas à , et soit le plan contenant la droite et le point . On appelle hyperbole de (droite) directrice et de foyer l'ensemble des points du plan vérifiant

où mesure la distance du point au point et mesure la distance du point à la droite .

La constante est appelée « excentricité » de l'hyperbole. Elle est caractéristique de la forme de l'hyperbole : si l'on transforme l'hyperbole par une similitude, son excentricité reste inchangée. Elle est donc indépendante du choix arbitraire de repère orthonormé pour ce plan ; elle détermine tous les autres rapports de distances (et toutes les différences angulaires) mesurés sur l'hyperbole. Plus est grand, plus l'hyperbole s'évase, les deux branches se rapprochant de la directrice. Plus s'approche de 1 plus l'hyperbole s'arrondit, les deux branches s'éloignant l'une de l'autre, celle située dans le même demi-plan que le foyer se rapprochant d'une parabole.

Notons le projeté orthogonal de sur . est alors clairement un axe de symétrie de l'hyperbole appelé « axe focal ».

L'axe focal coupe l'hyperbole en deux points appelés les « sommets » et de l'hyperbole.

La médiatrice du segment est également un axe de symétrie de l'hyperbole appelé axe non focal. Le point d'intersection des deux axes, noté , est alors le centre de symétrie de l'hyperbole.

Le cercle de diamètre est appelé « cercle principal » de l'hyperbole.

thumb|Trace du cône , du plan , de la sphère et du plan dans le plan passant par l'axe du cône et perpendiculaire à . La section du plan et du cône est une hyperbole de foyer de directrice passant par , de sommet et d'excentricité .

La symétrie orthogonale par rapport à l'axe non focal envoie le foyer et la directrice en et . Par symétrie, l'hyperbole est également l'hyperbole de foyer , de directrice et d'excentricité .

Une telle hyperbole possède en outre deux asymptotes passant par et par les points d'intersection du cercle principal et des directrices. Ces points sont également les projetés orthogonaux des foyers sur les asymptotes.. Lorsque les deux asymptotes sont perpendiculaires, on dit que l'hyperbole est « équilatère ».

En relation avec la définition précédente, l'hyperbole obtenue comme section de cône et de plan peut être définie par foyer et directrice. On considère une sphère inscrite dans le cône et touchant le plan en F (sphère de Dandelin) et le plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône. L'hyperbole est de foyer F et de directrice droite d'intersection des deux plans et . Dans le plan perpendiculaire à et passant par l'axe du cône, se trouvent le point , le sommet et le point . L'excentricité est donnée par le rapport . Elle ne dépend que de l'inclinaison du plan par rapport à l'axe du cône. Si l'on appelle la trace de dans le plan perpendiculaire à passant par l'axe du cône, si l'on note l'angle entre et l'axe du cône et l'angle du cône, l'excentricité est de .

thumb|left|Propriété de divergence d'une lentille hyperbolique. Cette relation entre foyer, directrice et excentricité dans une hyperbole est exploitée dans la construction des lentilles divergentes : si l'indice de la lentille par rapport au milieu est de , et si la surface concave de la lentille est une hyperbole de foyer et d'excentricité , le faisceau de rayons parallèles traversant la lentille, se disperse comme si les rayons venaient du foyer .

Définition bifocale

thumb|290px|La tangente en est aussi une bissectrice.

L'hyperbole est le lieu géométrique des points dont la différence des distances aux deux foyers est constante.

Géométriquement, cela donne :

Soient et deux points distincts du plan, distants de et soit un réel strictement compris entre 0 et . On appelle hyperbole de foyers et l'ensemble des points du plan vérifiant la propriété suivante :

Laxe focal est le nom de la droite portant les deux foyers : c'est l'un des deux axes de symétrie de l'hyperbole, le seul qui la coupe. Pour cette raison, on le nomme aussi axe transverse et ses points communs avec la courbe sont les sommets et de l'hyperbole. Le réel de la définition ci-dessus apparaît comme la moitié de la distance entre les sommets. Les directrices de l'hyperbole passent par les points de contact des tangentes au cercle principal (cercle de diamètre ) issues des foyersConséquence de , prop. 24.1.16..

En chaque point de cette hyperbole, la bissectrice du secteur angulaire se trouve être la tangente en à la courbe.

Cette construction de l'hyperbole permet d'expliquer la présence d'hyperbole lors d'interférences entre deux sources de même fréquence. Au point M le déphasage de l'onde par rapport à la source S est proportionnel à la distance MS. Le déphasage entre l'onde venant de S et l'onde venant de S est donc proportionnel à la différence des distances. Les deux ondes s'annulent quand leur déphasage est égale à . Les deux ondes s'amplifient quand leur déphasage est de . Les points où l'onde résultante a une amplitude nulle et les points où l'onde résultante a une amplitude maximale dessinent donc un faisceau d'hyperboles de foyers S et S.

Il existe des mécanismes avec corde et poulie exploitant cette propriété des hyperboles pour effectuer leur tracé. c'est le cas du dispositif conçu par Ibn Sahl au , p. 97..

thumb|center|Construction mécanique d'une hyperbole selon la méthode d'Ibn Sahl. La règle pivote autour du foyer F2. Le crayon M, sur la règle s'appuie sur une corde F1MD de longueur fixe et dessine une portion d'hyperbole de foyers F1 et F2.thumb|center|Interférences produites par deux sources synchrones avec les lignes nodales et anti-nodales.

Image d'un cercle par une homographie Comme toute conique, l'hyperbole peut être considérée comme l'image d'un cercle par une transformation projective. Plus précisément, si (H) est une hyperbole et (C) un cercle, il existe une transformation projective qui transforme (C) en (H). Par exemple, l'hyperbole est l'image de son cercle principal par une transformation projective dont l'expression analytique, dans un repère orthonormé porté par ses axes de symétrie, est

où est le rayon du cercle principal et les pentes de ses asymptotes.

Cette propriété permet de transférer à l'hyperbole des propriétés concernant des règles d'incidence de droites dans un cercle, comme le théorème de Pascal.

Parmi les transformations projectives, il en est de particulières comme les homologies harmoniques. Ce sont des homologies involutives de centre I d'axe (d) et de rapport -1. Dans celles-ci, un point M, son image M', le centre I et le point m d'intersection de (IM) avec (d) sont en division harmonique.

Un cercle (C) a pour image une hyperbole par une homologie harmonique de centre I et d'axe (d) si et seulement si l'image (d') de l'axe (d) par l'homothétie de centre I et de rapport 1/2 coupe le cercle en deux pointsExtraits de la conférence de Michel Guillerault lors de l’université d'été 93, 3 - Conique comme transformée de cercle par homologie harmonique, sur le site de Cabri-Geomètre.. Réciproquement, une hyperbole étant donnée, il est possible de trouver des cercles et des homologies harmoniques associées échangeant hyperbole et cercle. Exemple : une hyperbole de foyer F, de directrice (d) et d'excentricité e est l'image du cercle de centre F et de rayon eh (où h est la distance entre le foyer et la directrice) par l'homologie harmonique de centre F et d'axe (d1) image de (d) dans l'homothétie de centre F et de rapport 2 ; une hyperbole équilatère est l'image de son cercle principal par une homologie harmonique de centre un des sommets et d'axe (d) passant par l'autre sommet et perpendiculaire à l'axe principal de l'hyperbole. Quand l'hyperbole n'est pas équilatère, elle reste l'image d'un cercle par une homologie harmonique de centre un des sommets, mais le cercle n'est plus le cercle principal et l'axe ne passe plus par l'autre sommet. Ce sont des homologies de ce type qui permettent de démontrer le théorème de Frégier.