La logique est le fondement du raisonnement mathématique.
Introduction
La logique explique comment un fait ou une affirmation peut découler d'autres faits déjà admis. Un enchaînement de faits qui sont énoncés pour découler les uns des autres s'appelle une démonstration. On constate que calculer et démontrer sont les deux principales activités des mathématiques. Ici, nous nous intéressons à l'activité de démontrer. Pour démontrer quelque chose, il faut soit utiliser un langage spécifique (présenté dans d'autres articles spécialisés de Wikipédia, par exemple dans l'article déduction naturelle), soit garder le français avec un certain nombre de conventions qui ont pour but d'éliminer les erreurs et les ambiguïtés. La logique est donc, en mathématiques, la pratique de la rigueur ou de lexactitude dans la pensée.
Des conventions de langage dans la pratique des mathématiques Dès qu'on fait des mathématiques, on se place dans une théorie où l'on accepte un certain nombre de faits de base. Dans les exemples qui suivent, les faits de base sont ceux de la théorie des nombres réels, où l'on connaît les propriétés de l'addition, de la multiplication, de la relation d'ordre etc. Nous allons nous intéresser à l'enchaînement des raisonnements corrects que l'on peut faire à partir de ces faits de base acquis. L'implication Commençons par examiner deux faits : premier fait : deuxième fait : . Le deuxième fait découle du premier fait. En effet, si , nous pouvons remplacer par dans l'expression et nous constatons que . Nous dirions donc que implique ou que découle de On écrit aussi si alors ou encore est suffisante pour que ou encore est nécessaire quand . Toutes ces formulations sont des conventions que les mathématiciens ont choisiesVoyez l'article Des nains sur des épaules de géants. pour mettre de la rigueur dans leurs raisonnements. Dans ce que l'on vient de dire, ce qui lie à s'appelle une implication. Plus précisément l'affirmation que cette implication est vraie s'appelle une déduction ; une déduction est une étape de base d'une démonstration.
En fait, quand on écrit implique on s'aperçoit que dit quelque chose de plus fort que . En faisant une implication on perd de l'information.
La disjonction En revanche, pouvons-nous dire implique ? Non, parce qu'avec on peut affirmer aussi que , en effet . Pour pouvoir dire quelque chose avec les affirmations et , il faut les combiner pour former un seul fait. Ce fait est une nouvelle affirmation : ou . L'opération logique qui combine deux affirmations par un ou s'appelle une disjonction.
La théorie des équations du second degré nous dit que nous pouvons écrire : implique ou ou encore si alors ou .
L'équivalence Comment combiner deux faits en disant qu'il n'y a pas d'information perdue quand on passe de l'un à l'autre ou de l'autre à l'un, en disant qu'ils affirment exactement la même chose? Sur les faits ci-dessus cela s'écrit : est équivalent à ou ou bien si et seulement si ou ou bien est nécessaire et suffisant pour que ou ou bien est une condition nécessaire et suffisante pour que ou . Cette combinaison s'appelle une équivalence. Comme une équivalence va dans les deux sens on peut aussi écrire : ou est équivalent à ou bien ou si et seulement si ou bien encore ou ssi qui est une forme raccourcie du précédent, etc.
Propositions et connecteurs Jusqu’ici, nous avons parlé de faits ou d’affirmations. En logique, on emploie dans ce cas, le nom de proposition. Ainsi est une proposition. On peut même donner aux propositions des noms qui sont des lettres, par exemple, on pourra écrire implique . On peut voir donc que implique fonctionne un peu comme en arithmétique. On peut donc aussi « calculer » sur les propositions, on parle d'ailleurs de calcul des propositions quand on parle de cette façon de calculer. Mais à la différence de l'arithmétique, où on dit que est un opérateur, on dit que implique est un connecteurIl s'agit d'un emprunt à la linguistique où ce terme existe et signifie « mot qui connecte des expressions ».. C'est plus une question d'habitude, chez les logiciens, que vraiment un concept différent. Nous avons vu trois connecteurs : implique, ou, équivalent. En arithmétique, on n'écrit pas plus , mais bien . En calcul des propositions, on utilise des notations comme pour les connecteurs et on écrit pour implique , pour ou , pour équivalent à , La négation On ne peut pas dire que implique . Par contre on peut dire que si vaut alors ne vaut pas : pour cela il faut pouvoir dire que l'on n'a pas . Pour cela, on introduit un connecteur qui ressemble au unaire en arithmétique, celui qui remplace par . Ce connecteur est appelé la négation et se note non. On peut donc écrire : implique non ou encore si alors non . La notation formelle de non est . On écrira au lieu de non . Mais très souvent, on utilisera une écriture encore plus condensée, à savoir .
La conjonction Nous avons vu que l'on ne peut pas affirmer que implique , par contre on peut renforcer la première proposition (celle qui est à gauche du implique) en disant que l'on cherche des qui sont plus grands que . Autrement dit, on veut ajouter la condition à . Pour cela on crée la proposition : et . On a introduit un nouveau connecteur et et grâce à lui on peut énoncer : et implique . Là nous commençons à entrevoir un petit problème. Est-ce que dans la proposition précédente nous avons voulu dire que nous avions d'une part
et d'autre part, implique ou bien est-ce que nous avons voulu dire que et implique ? C'est bien la deuxième intention que nous avions en tête. Pour lever toute ambiguïté, on utilise des parenthèses et on écrit : ( et ) implique . Le et se note formellement . Ainsi la proposition ci-dessus peut s'écrireCe n'est pas du bon style mathématique de mélanger dans la même phrase des notations formelles comme ou et du français ! : .
Des propositions valables quelque part et des propositions valables partout
Supposons que l'on ne veuille pas dire la proposition A vue plus haut: pour ou pour l'expression s'annule mais une autre proposition: il y a un entier naturel quelque part (c'est-à-dire un ) pour lequel cette expression s'annule.
Nous écrirons : . « Il existe » s'appelle un quantificateur. Grâce à cette nouvelle construction logique, parce que nous savons que annule , nous pouvons écrire une proposition qui énonce qu'il y a un entier naturel qui annule : ( implique ) implique (Il existe tel que ).
Si, maintenant, je considère l'expression , je ne peux pas affirmer qu'il existe un qui l'annule. Mais en revanche, je peux dire que pour tous les entiers naturels, elle ne s'annule pas. J'écris alors Pour tout , . « Pour tout » est aussi un quantificateur. On peut aussi écrire: Quel que soit . Et encore: dans la formulation qui ne veut pas mélanger le français avec la langue mathématique.
Des règles pour raisonner Pour pouvoir raisonner il nous faut quelques règles. Par exemple il y a des règles sur l'implication, auxquelles les logiciens ont donné des noms.
Modus ponens Ainsi nous pouvons dire que si nous avons et si nous avons implique alors nous avons . Cela veut dire que si nous avons pour but de démontrer , alors nous pourrons nous donner deux sous-buts (deux buts intermédiaires)Lors de la dernière coupe du monde de football en 2018 , pour que la France soit championne en vainquant la Croatie, il fallait comme sous-objectifs que la France vainque la Belgique et que la Croatie vainque l'Angleterre. : démontrer et démontrer implique , alors seulement nous pourrons en utilisant la règle ci-dessus démontrer . Comme dans le deuxième sous-but, on avait une implication et que dans le but final, il n'y a plus d'implication. On appelle cette règle le modus ponens.
Par exemple, supposons que nous ayons démontréPar exemple, parce que . que et puisque nous avons implique , nous pouvons en déduire que .
L'introduction de l'implication Comme on vient de le voir, il faut que nous ayons des moyens de démontrer des implications. On utilise pour cela une règle qui « introduit » une implication. Elle fonctionne comme suit. Mettons que nous voulions démontrer implique . Nous ajoutons à nos hypothèses admises et nous essayons de démontrer . Si nous réussissons, nous pouvons affirmer implique et nous pouvons l'utiliser par la suite.
Il y a des règles pour les autres connecteurs comme ou ou et, mais aussi pour les quantificateurs.
La construction des raisonnements mathématiques L’existence de raisonnements mathématiques corrects est une chose, mais la construction de tels raisonnements corrects en est une autre. La question se pose donc de fournir aux mathématiciens ou aux élèves des méthodes pour fabriquer des démonstrations. Voici donc quelques heuristiques (outils d'aide à la construction de raisonnements) qu'ont les mathématiciens pour les aider à élaborer des démonstrations. Quelques mathématiciens, comme Henri Poincaré, George Pólya, Martin Gardner ou Terence Tao ont tenté de décrire dans des livres, leur démarche et celle de leurs collègues telle qu'ils la conçoivent.
Induction Dans l'induction, le mathématicien part de constats expérimentaux, puis les généralise en trouvant une qui les unifie. Par exemple, on constate que si l'on trace un triangle dont l'un des côtés est le diamètre d'un cercle, et les 3 sommets de ce triangle coïncident avec la périphérie du cercle, alors ce triangle est rectangleLe terme est très surchargé en mathématique et en logique mathématique, car il peut recouvrir le concept présenté ici, mais aussi le concept de raisonnement par récurrence, appelé aussi raisonnement par induction ou parfois simplement induction. On veillera donc à savoir quel concept on considère.. Linduction est une heuristique, c'est-à-dire une méthode qui aide à construire ensuite un raisonnement mathématique rigoureux ; en aucun cas elle ne constitue une démonstration mathématique.
Déduction
Dans la déduction, on part d'hypothèses et on essaye de construire des enchaînements logiques pour aboutir à la démonstration du théorème. Cette démarche peut conduire à un point où il n'y a plus de nouvelle déduction à faire sans qu'une démonstration ait été atteinte (voie sans issue). Cela nécessite un retour en arrière pour emprunter une autre voie (c'est-à-dire une autre déduction). Cette approche purement déductive peut-être coûteuse, parce que le nombre de voies à explorer est extrêmement grand. Il peut être intéressant alors d'avoir une idée même intuitive et incomplète de la direction et de de combien on se rapproche de la solution (voir Retour sur trace). La déduction doit donc être combinée avec d’autres heuristiques.
Disjonction de cas
On cherche une démonstration en scindant le problème en cas.
Exemple : A-t-on, pour tout entier naturel , pair?
La proposition est :
L'heuristique est : .
Cas 1 : on considère pair, soit avec un entier naturel.
qui est un nombre pair.
Cas 2 : on considère impair, soit avec un entier naturel.
qui est un nombre pair. Ainsi, pour tout entier naturel (pair ou impair), on a pair.
Si on a une démonstration pour chacun des cas, on a une démonstration du problème général.
Par l'absurde
On suppose la négation de ce que l'on veut montrer, puis on montre que cela conduit à une absurdité.
Contraposition
Au lieu de montrer que A implique B on montre que la négation de B implique la négation de A.
Récurrence
Par un processus par étape, on démontre qu'une propriété est vraie pour tous les entiers ou pour toute structure mathématique qui ressemble aux entiers.
Analyse-synthèse
On analyse des solutions candidates potentielles et l'on élimine, parmi celles-ci, celles qui ne sont pas d'authentiques solutions. On obtient ainsi une véritable démonstration parmi les candidates non éliminées.
Par hypothèse auxiliaire