Un tore algébrique est une construction mathématique qui apparaît dans l'étude des groupes algébriques. Ils constituent l'un des premiers exemples de tels groupes.

La notion est due à Armand Borel en 1956, progressivement étendue par Alexandre Grothendieck et pour atteindre sa forme moderne. Les tores algébriques entretiennent d'étroites relations avec la théorie de Lie et les groupes algébriques.

L'étude des tores algébriques dans le cas des corps finis présente également un intérêt pratique en cryptographie, où ils permettent de construire des groupes d'ordre élevé tout en assurant que les éléments du groupe se prêtent à une représentation relativement compactePlus précisément, il s'agit de représenter certains éléments de en n'utilisant que éléments de , au lieu des que nécessiterait l'approche naïve. .

Définition Un tore algébrique de dimension sur un corps est un qui vérifieUne version un peu plus générale d'un tore défini sur un schéma est donnée par Grothendieck dans SGA 3, exposé IX, définition 1.3. L'isomorphisme s'entend alors au sens de la topologie fpqc. :où est la clôture algébriqueEn réalité, séparable suffit. de et est le groupe multiplicatif. On dit plus généralement d'une extension de telle que qu'elle « déploie » le tore. La plus petite telle extension est appelée corps de rupture du tore. Si le tore est isomorphe à sur , sans qu'il y ait besoin d'étendre les scalaires, on dit qu'il est « déployé » ou qu'il s'agit du tore trivial. C'est en particulier toujours le cas si le corps est algébriquement clos.

Dans le cas où est un corps fini, un tore de dimension est déployé par pour un certain et correspond à la donnée d'un -module de rang et d'un automorphisme d'ordre .

Réseau des caractères On associe à un tore l'ensemble qui possède une structure naturelle de réseau euclidien, et qui est donc appelé « réseau des caractères » de ce tore. La notion duale existe, et l'ensemble est appelé « réseau des cocaractères ». Lorsque le tore est déployé de dimension , ces deux réseaux sont isomorphes à .

Sur un corps algébriquement clos, le foncteur qui associe au tore son réseau des caractères forme une (anti-)équivalence de catégories. Ainsi, de même que la dualité de Pontriaguine classifie les groupes abéliens compacts via leurs caractères, les tores algébriques (ou plus généralement les groupes de type multiplicatif) sont classifiés par leur réseau de caractères.

Exemple

Cas du corps des réels Soit , de clôture algébrique , on note le seul élément non nul de . Il y a deux tores de dimension 1 sur , qui correspondent aux deux actions de sur : ou bien agit comme l'identité (et on obtient le tore scindé ) ou bien elle agit comme et on obtient un tore dont les points réels forment un cercle unité : le groupe .

Sous-tore d'un groupe algébrique Soit un groupe algébrique affine lisse sur un corps algébriquement clos. Alors l'ensemble des sous-groupes de qui sont des tores (nécessairement déployés) possède un élément maximal , appelé tore maximal de . Ces tores maximaux possèdent de nombreuses propriétés et jouent un rôle important dans la classification des groupes réductifs établie par Chevalley. Par exemple, les tores maximaux de sont conjugués deux à deux : pour tous tores maximaux et de , il existe un élément tel que .

Lorsque est réductif, les tores maximaux permettent également de définir le groupe de Weyl de , de la façon suivante : soit le normalisateur de dans . Il s'agit d'un sous-groupe de qui contient comme sous-groupe distingué (et qui est maximal pour cette propriété). Le groupe de Weyl de est alors . À isomorphisme près, il ne dépend pas du choix de . Ce groupe est fini et encode certaines symétries du groupe .

Notes et références

Notes

Références

Catégorie:Groupe algébrique