La théorie des jeux est un domaine des mathématiques et de l’informatique qui propose une description formelle d'interactions stratégiques entre agents (appelés « joueurs »). Les fondements mathématiques de la théorie moderne des jeux sont décrits autour des années 1920 par Ernst Zermelo dans l'article ; littéralement : ., et par Émile Borel dans l'article « La théorie du jeu et les équations intégrales à noyau symétrique ». Ces idées sont ensuite développées par Oskar Morgenstern et John von Neumann en 1944 dans leur ouvrage ; littéralement : . qui est considéré comme le fondement de la théorie des jeux moderne. Il s'agissait de modéliser les jeux à somme nulle où la somme des gains entre les joueurs est toujours égale à zéro. La théorie des jeux devient dès ce moment un outil théorique important de la microéconomie.
Depuis , 11 « prix Nobel d'économie » ont été décernés à des économistes pour leurs recherches sur la théorie des jeux. Outre le champ de l'économie, la théorie des jeux trouve des applications dans les sciences sociales, les sciences politiques, dans l'analyse stratégique comme en relations internationales ou en théorie des organisations et en biologie évolutive.
Histoire vignette|redresse|Antoine-Augustin Cournot. vignette|redresse|Émile Borel. L'analyse du duopole d'Antoine-Augustin Cournot publiée en 1838 dans ses Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses peut être considérée comme la première formulation, dans un cadre particulier, de la notion d'équilibre de Nash.
Dans son ouvrage de 1938, Applications aux Jeux de Hasard, Émile Borel développe un théorème du minimax pour les jeux à somme nulle à deux joueurs, c'est-à-dire les jeux dans lesquels ce que gagne l'un est perdu par l'autre.
vignette|redresse|John von Neumann.
La théorie des jeux devient un champ de recherche à part entière avec la publication de (Théorie des jeux et du comportement économique) par John von Neumann et Oskar Morgenstern en 1944. Cet ouvrage fondateur détaille la méthode de résolution des jeux à somme nulle.
Vers 1950, John Forbes Nash formalise une notion générale d'équilibre qui portera le nom d'équilibre de Nash. Cette notion généralise les travaux de Cournot en incluant en particulier la possibilité de randomisation des stratégies.
Dans leur ouvrage marquant de 1957, qui a redonné à la théorie des jeux une nouvelle vigueur., R. Duncan Luce et Howard Raiffa déclarent remarquer le déclin du ne demandant que . Ils invitaient les chercheurs en sciences sociales à reconnaître que la théorie des jeux n'est pas descriptive, mais au contraire, plutôt normative, car elle n'établit pas comment les gens se comportent (ni d’ailleurs comment ils devraient se comporter dans l'absolu), mais comment ils doivent se comporter s'ils veulent atteindre certains objectifs. Leur invitation a été ignorée et la théorie des jeux a continué à être adoptée davantage comme un outil descriptif qu'un outil normatif.
vignette|redresse|John Forbes Nash.
L'association entre certains jeux (les jeux combinatoires) et les nombres surréels de Conway a été établie dans les années 1970John Horton Conway, On Numbers and Games..
En 1994, John Nash, Reinhard Selten et John Harsanyi reçoivent le « prix Nobel d'économie » (prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel) pour leurs travaux sur la théorie des jeux. Ce choix témoigne de l'importance prise par la théorie des jeux dans l'analyse économique.
En 2005, les théoriciens des jeux Thomas Schelling et Robert Aumann reçoivent le « prix Nobel d'économie »..
vignette|Robert Aumann.|alt=|170x170px
En 2007, Leonid Hurwicz, Eric Maskin et Roger Myerson reçoivent le « prix Nobel d'économie » pour avoir posé les fondations de la théorie des mécanismes d'incitation.
En 2012, Alvin Roth et Lloyd Shapley, un pionnier de la théorie des jeux, reçoivent le « prix Nobel d'économie » pour leurs travaux sur les marchés et la façon d'ajuster offre et demande..
En 2014, Jean Tirole reçoit le « prix Nobel d'économie » pour son Son directeur de thèse en 1981 au MIT était Eric Maskin, lauréat en 2007..
Interprétations Il existe une ambiguïté sur les interprétations possibles de la théorie des jeux et notamment sur le fait que la théorie des jeux soit une théorie normative ou une théorie descriptive..
Von Neumann et Morgenstern décrivent la manière dont des joueurs rationnels se comporteraient.
La théorie des jeux comportementale adopte une interprétation descriptive et cherche à décrire à l'aide de travaux expérimentaux comment les humains se comportent effectivement dans les différents modèles de théorie des jeux pour élaborer une théorie des jeux descriptive..
Il existe un débat sur la manière dont on peut appliquer la théorie des jeux à l'analyse de la vie réelle. Par exemple, l'économiste Ariel Rubinstein défend l'idée que la théorie des jeux ne permet pas de prédire le réel mais propose un cadre de pensée qui, au même titre que les fables et les proverbes, permet de penser et d'analyser des situations réelles.. Bernard Guerrien adopte un point de vue très proche de celui de Rubinstein, en insistant sur le fait qu'il est absurde de parler d'« applications » de la théorie des jeux, du moins dans sa version non coopérativehttp://s691076032.onlinehome.fr/wp-content/uploads/2017/07/JeuSite.pdf..
Typologie La théorie des jeux classifie les jeux en catégories en fonction de leurs approches de résolution.
Jeux coopératifs et jeux non coopératifs
Dans les jeux coopératifs, on étudie la formation de coalitions entre les joueurs afin d'obtenir de meilleurs résultats pour leurs membres.
Jeux à somme nulle et jeux à somme non nulle
On appelle jeu à somme nulle ou jeu strictement compétitif, les jeux à deux joueurs dans lesquels l'intérêt de l'un des deux joueurs est strictement opposé à l'intérêt de l'autre joueur. Si les préférences des joueurs sont représentées par une fonction de gain ou une fonction d'utilité, alors la somme des deux fonctions est toujours égale à 0. La théorie des jeux à somme nulle a été essentiellement développée par .
Les échecs, le tarot ou le poker sont des jeux à somme nulle car les gains de l'un sont très exactement les pertes de l'autre. Le jeu pierre-feuille-ciseaux est un autre exemple de jeu à somme nulle. Le dilemme du prisonnier n'est pas un jeu à somme nulle (dans certains cas, les deux joueurs peuvent perdre).
Jeux simultanés alt=Reinhard Selten|vignette|198x198px|Reinhard Selten. Dans un jeu simultané, les joueurs décident en même temps de leur stratégie (exemple : le dilemme du prisonnier, le jeu pierre-feuille-ciseaux et le jeu du duopole de Cournot).
Il dispose des caractéristiques suivantes : Il y a participants au jeu, les joueurs. Chaque joueur choisit une stratégie dans un ensemble de stratégies possibles, ces choix sont simultanés. Le résultat est un profil de stratégies qui précise la stratégie individuelle choisie par chaque joueur. Chaque joueur obtient un paiement qui dépend du profil de stratégies ainsi choisi.
Un jeu simultané à deux joueurs avec des ensembles de stratégies finis est représenté par un tableau, ou matrice, dont les lignes sont les stratégies du joueur , les colonnes sont les stratégies du joueur . Dans chaque case est inscrit (gain du joueur , gain du joueur ).
+ Matrice du jeu « pierre-feuille-ciseaux » (1 point en cas de victoire, 0 sinon) P F C P F C
Jeux séquentiels
Dans un jeu séquentiel, on peut spécifier l'ordre des décisions de sorte qu'un joueur peut décider de sa stratégie conditionnellement à ce qu'ont joué les autres joueurs précédemment (exemple : le jeu d'échecs et le jeu de go).
Un jeu séquentiel se caractérise par : un ensemble de joueurs ; un déroulement, l'information et les actions à disposition de chaque joueur au moment où ils jouent ; et de paiements à la fin du jeu, qui dépendent de l'historique du jeu.
La méthode de la récurrence inverse permet de résoudre le jeu séquentiel, obtenant un équilibre de Nash, appelé équilibre en sous-jeux parfait. Elle consiste à réaliser un arbre de décision à niveaux de décision, et à remonter l'arbre de décision en déterminant à chaque niveau , l'action qui maximise le gain du joueur qui prend la décision au niveau .
Information complète et information incomplète On dit qu'un jeu est à information complète si chaque joueur connaît lors de la prise de décision : ses possibilités d'action ; les possibilités d'action des autres joueurs ; les gains résultants de ces actions ; les motivations des autres joueurs.
Les jeux en information incomplète sont des situations où l'une des conditions n'est pas vérifiée. Ce peut être parce qu'une des motivations d'un acteur est cachée (domaine important pour l'application de la théorie des jeux à l'économie). Ces jeux sont aussi appelés jeux bayésiens.
On parle de jeu à information parfaite dans le cas de jeu sous forme extensive, où chaque joueur a une connaissance parfaite de toute l'histoire du jeu.
Un jeu à information incomplète est aussi à information imparfaite. Les jeux à information complète peuvent être à information imparfaite soit du fait de la simultanéité des choix des joueurs, soit lorsque des événements aléatoires sont cachés à certains joueurs.
John Harsanyi a présenté une méthode permettant de transformer des jeux à information incomplète en jeux à information complète mais imparfaite : au début du jeu, la Nature effectue un choix de règles parmi les possibles, et les joueurs n'ont qu'une connaissance partielle de ce choix. Cette transformation introduit une subtilité dans la classification des jeux où le hasard intervient, séparant ceux où le hasard intervient uniquement avant le premier choix (assimilables à un jeu à information incomplète sans hasard), de ceux où le hasard intervient (aussi) après un choix d'un joueurGames and information: an introduction to game theory, Eric Rasmusen, ..
Mémoire parfaite et mémoire imparfaite On distingue aussi les jeux à mémoire parfaite et à mémoire imparfaite. Les jeux à mémoire parfaite sont des situations où chaque joueur peut se rappeler à tout moment de la suite de coups qui ont été joués précédemment, au besoin en notant au fur et à mesure les coups joués. Les jeux à mémoire imparfaite supposent une amnésie de la part des joueurs. Les jeux de guerre sont des exemples de jeux à mémoire imparfaite si les commandements de zones opérationnelles ne parviennent pas à communiquer entre eux ou avec l'État-Major et donc n'ont pas trace des mouvements déjà effectués par les troupes alliées lorsqu'elles doivent décider de leurs propres mouvements.
Jeux déterminés Les jeux de Nim forment un cas particulier de jeu à somme nulle, sans intervention du hasard et dans la plupart des cas à nombre de situations finies. Dans leur cas particulier, la théorie des graphes fournit un outil plus utile que la théorie des jeux à proprement parler. Elle permet de dégager le noyau du jeu, ensemble des nœuds assurant la victoire si l'on parvient à l'un d'entre eux en cours de jeu et qu'on joue de façon optimale ensuite. Ce noyau est caractérisé à partir du nombre de Grundy associé à chaque nœudBerge C., 1958, Théorie des Graphes et ses Applications, Dunod..
Jeux finis On dit qu'un jeu est fini lorsque l'ensemble des stratégies de chacun des joueurs est fini. Le dilemme du prisonnier est un jeu fini car chacun des joueurs n'a que deux stratégies possibles. En revanche, le jeu du duopole de Cournot n'est pas un jeu fini, car chaque entreprise choisit la quantité de bien qu'elle produit dans l'ensemble des réels positifs.
Jeux répétés