Fonction de Pearson

Les fonctions de Pearson ont été créées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du et au début du .

Historique Le système de Pearson a été originellement conçu afin de modéliser des observations visiblement asymétriques. Les méthodes pour ajuster un modèle théorique aux deux premiers cumulants ou moments de données observées : toute distribution peut être étendue directement une famille de distributions adaptée. Sauf dans des cas pathologiques, une famille peut être adaptée à l'espérance (premier cumulant) et la variance (deuxième cumulant) de façon arbitraire, mais il était jusque là impossible de construire des densités de probabilité en prenant également en compte l'asymétrie (troisième cumulant standardisé) et la kurtosis (quatrième cumulant standardisé). Ce besoin est apparu quand il a fallu trouver des modèles adaptés à des observations visiblement asymétriques. Les exemples de Pearson citent des données de survie, usuellement asymétriques.

Dans son article original, Pearson (1895, 360) identifie quatre types de distributions (numéroté de I à IV) en plus de la distribution normale (qu'il numérote originellement ). La classification dépend du support des distributions, selon qu'il soit sur un intervalle borné, une demi-droite ou la droite réelle ; mais aussi selon leur asymétrie possible ou leur symétrie. Un deuxième papier rectifie deux oublis : il redéfinit le (étant redéfinie de la loi normale, désormais la loi inverse-gamma) et introduit la fonction de . Les deux papiers couvrent les cinq types principaux du système de Pearson (I, III, IV, V et VI). Un troisième papier de introduit de nouveaux types et sous-types (numérotés de VII à XII).

décrit un moyen simple de visualiser le paramètre spatial du système de Pearson, adopté par Pearson lui-même par la suite . Les types de Pearson sont caractérisés par deux quantités, couramment notées et . La première correspond au carré de l'asymétrie : où est l'asymétrie, ou troisième moment standardisé. La deuxième est la kurtosis usuelle, ou quatrième moment standardisé : . Les définitions modernes définissent la kurtosis à partir des cumulants plutôt que des moments, de sorte que pour la loi normale, on ait et , mais on garde ici la définition historique de par Pearson.)

Beaucoup de lois asymétriques et/ou non-mésokurtiques connues de nos jours ne l'étaient pas dans les années 1890. Par exemple, la loi bêta était utilisée par Thomas Bayes comme loi a posteriori du paramètre d'une loi de Bernoulli dans ses travaux de 1763 sur les lois inverses. La loi beta a gagné en importance grâce au système de Pearson et est resté jusque dans les années 1940 comme la loi de Pearson de . (le de Pearson est un cas spécial du , mais n'est plus de nos jours considéré séparément du ). De même, la loi gamma vient originellement de et et est resté jusque dans les années 1940 comme la loi de Pearson de .. La loi de apparait dans , et décrit comme cas spécial, ce qu'on appelle désormais la loi de Student, précédant les travaux de William Gosset de plusieurs années. Son article de 1901 présente les lois inverse-gamma () et bêta prime ().

Définition

Une densité est définie comme toute solution de l'équation différentielle

avec :

Selon Ord., Pearson a trouvé cette forme en partant d'abord de la forme de la dérivée logarithmique de la densité de la loi normale (qui est linéaire) puis en utilisant une relation de récurrence pour les valeurs de la fonction de densité de la loi hypergéométrique (qui donne la forme d'une fraction rationnelle, linéaire au numérateur et quadratique au dénominateur).

Le paramètre détermine un point stationnaire, et donc, sous certaines conditions, un mode de la distribution, car on peut déduire de l'équation différentielle que

L'équation différentielle est du premier ordre à coefficients variables et peut donc être résolue :

L'intégrale dans la solution peut se simplifier grandement pour certains cas de l'intégrande. Pearson distingue deux cas, déterminé par le signe du discriminant de l'équation différentielle, et donc le nombre de racines réelles du polynôme .

Fonctions de Pearson

Pearson IV

La fonction de Pearson IV correspond au cas où la fonction définie auparavant a un discriminant strictement négatif. On peut alors la réécrire sous la forme :

Le paramètre (bien défini en raison du signe du discriminant) est un paramètre d'échelle, on a deux paramètres de forme et , et le paramètre est un paramètre de localisation.

Après simplification, la densité de probabilité , pour réel, vaut :

où est un facteur de normalisation. Si , la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec degrés de liberté pour .

Pour , la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la loi de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique placé en

elle présente deux points d'inflexion situés en

Sa moyenne vaut

La moyenne est infinie si et .

Sa variance vaut

La variance est infinie si .

Le facteur de normalisation vaut :

où est la fonction Gamma d'Euler.

Pearson VII

La fonction de Pearson IV correspond au cas particulier de la fonction IV où le paramètre de forme , qui détermine l'asymétrie, est supposé nul. La distribution devient alors symétrique.

La de Pearson est définie alors, pour entier, par

Le facteur de normalisation vaut alors :

où est la fonction bêta.

On écrit parfois une expression simplifiée en posant :

Le paramètre détermine alors la kurtosis de la distribution ; : distribution dite super-lorentzienne ; : distribution de Cauchy/Lorentz (lorentzienne)/Breit-Wigner ; : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utilisée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

Autre paramétrisation : la loi de Student

La fonction de permet aussi de retrouver la fonction de densite de la loi de Student en fixant le jeu de paramètres :

La contrainte est ainsi toujours vérifiée.

On obtient alors la densité :

Autres cas En considérant le cas où a un discriminant positif (), on a alors deux racines réelles et (pas forcément distinguées) :

La forme générale de la densité peut alors se réécrire :

Pearson le désigne comme le "cas logarithmique" (), car l'intégrale se résout alors en utilisant uniquement la fonction logarithme :

En posant , il vient :

Pearson I Les fonctions de Pearson de (une généralisation de la loi bêta) correspondent au cas où les deux racines sont de signes opposés (). La densité n'est alors définie que sur l'intervalle . En se ramenant à l'intervalle par la substitution , et en posant :

l'écriture de la densité se simplifie en :

Ainsi, suit une loi bêta avec . La condition est nécessaire et suffisante pour que définisse une densité de probabilités.

Pearson II Les fonctions de Pearson de sont un cas particulier des fonctions de , où les paramètres rendent la densité symétrique.

Pour la courbe de la fonction de .

avec

L'ordonnée est la fréquence de . Elles sont utilisées dans le calcul des tables de coefficients de corrélation dans la corrélation de Spearman pour un échantillon de moins de 100. Après, la distribution se rapproche d'une loi de Student.

Pearson III En posant

il vient que les fonctions de Pearson de regroupent les lois gamma et les lois du χ.

Pearson V En posant

on voit que les fonctions de Pearson de correspondant aux lois inverse-gamma.

Pearson VI En posant

il vient que les fonctions de Pearson de regroupent les lois bêta prime et les lois de Fisher.

Pearson VIII La forme générale de la densité peut s'écrire.:

Pearson IX La forme générale de la densité peut s'écrire:

Pearson X La forme générale de la densité peut s'écrire:

On reconnait alors la loi exponentielle.

Pearson XI La forme générale de la densité peut s'écrire:

C'est donc un cas particulier de la loi de Pareto.

Pearson XII La forme générale de la densité peut s'écrire:

C'est donc un cas particulier du .

Généralisations Le système de Pearson est défini à partir d'une équation différentielle. En considérant d'autres fonctions, on peut construire d'autres systèmes, comme celui de Burr ou de Johnson.

Système de Burr

Le système de Burr regroupe les distributions telles que leurs fonctions de répartition vérifient l'équation différentielle.:

où est une fonction positive.

Burr a déterminé douze types de solutions, selon le choix de ...; celle qu'on appelle usuellement loi de Burr correspond au et dernier cas.

Système de Johnson

Le système de Johnson repose sur une transformation de données normalement distribuées, caractérisée par une fonction et quatre paramètres dits de translation. En considérant la fonction de densité de la loi normale centrée réduite, il pose une fonction supposément croissante et dérivable, et quatre paramètres, réels, il transforme la variable en

ce qui permet d'obtenir un modèle de fonction de densité :

Johnson s'attarde sur trois types de fonctions.: une fonction à support borné :

une fonction à support sur la demi-droite réelle :

une fonction à :

Notes et références

Voir aussi Ajustement de loi de probabilité

Bibliographie

.

Liens externes

A Guide to the Pearson Type IV Distribution, Joel Heinrich, University of Pennsylvania, 2004 .

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