En géométrie, une sphère inscrite dans un polyèdre est une sphère incluse dans ce polyèdre et telle que toutes les faces du polyèdre soient tangentes à la sphère. Il s'agit d'une extension à trois dimensions du cercle inscrit.
Construction
Tout tétraèdre non dégénéré (soit formé par quatre plans non coplanaires) permet de définir une sphère, ainsi tout tétraèdre non dégénéré a une sphère inscrite et les quatre faces du tétraèdre sont tangentes à la sphère.
Dans le cas de polyèdres convexes à faces, on peut définir la sphère inscrite comme la sphère qui, parmi les sphères inscrites construites à partir des quadruplets de faces, est celle qui ne traverse aucune face et qui est mécaniquement stable (qu'on ne peut bouger à l'intérieur du polyèdre).
Sphère inscrite dans un polyèdre régulier
Tous les polyèdres réguliers convexes (solide de Platon) ont une sphère inscrite qui est tangente aux centres de toutes les faces.
Propriétés Le rayon de la sphère inscrite d'un polyèdre régulier à faces et de longueur d'arête est de:
où θ désigne l'angle dièdre entre deux faces.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Sphère circonscrite
Liens externes
Catégorie:Géométrie dans l'espace inscrite