En analyse mathématique, les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels particulièrement adaptés à la résolution des problèmes d'équation aux dérivées partielles. Ils doivent leur nom au mathématicien russe Sergueï Lvovitch Sobolev.
Plus précisément, un espace de Sobolev est un espace vectoriel de fonctions muni de la norme obtenue par la combinaison de la norme de la fonction elle-même et de ses dérivées jusqu'à un certain ordre. Les dérivées sont comprises dans un sens faible, au sens des distributions afin de rendre l'espace complet. Les espaces de Sobolev sont donc des espaces de Banach.
Intuitivement, un espace de Sobolev est un espace de Banach de fonctions pouvant être dérivées suffisamment de fois, pour donner sens par exemple à une équation aux dérivées partielles et muni d'une norme qui mesure à la fois la taille et la régularité de la fonction.
Les espaces de Sobolev sont un outil essentiel pour l'étude des équations aux dérivées partielles. En effet, les solutions de ces équations appartiennent plus naturellement à un espace de Sobolev qu'à un espace de fonctions continues partiellement dérivables au sens classique.
Introduction
Il existe de nombreux critères pour évaluer la régularité d'une fonction. Le critère le plus élémentaire est celui de la continuité. Une notion plus forte de régularité est la différentiabilité. En effet, les fonctions différentiables sont également continues. Enfin, un critère encore plus fort de régularité est la continuité des dérivées partielles (de telles fonctions sont dites de classe ). Les fonctions différentiables sont importantes dans beaucoup de domaines, en particulier pour les équations différentielles (cas d'une seule variable) ou les équations aux dérivées partielles (cas de plusieurs variables). Cependant, au cours du , les mathématiciens se sont rendu compte que l'espace (ou , etc.) n'était pas le cadre approprié pour étudier les solutions des équations aux dérivées partielles. Les espaces de Sobolev se sont imposés comme l'outil moderne fournissant le cadre adéquat pour la recherche de solutions d'équations aux dérivées partielles.
Définition des espaces de Sobolev Définitions
Soient un ouvert de , , et un entier naturel. On définit l'espace de Sobolev par
où est un multi-indice, est une dérivée partielle de au sens faible (au sens des distributions) et désigne un espace de Lebesgue.
On munit cet espace vectoriel de la norme suivante :
où désigne la norme des espaces de Lebesgue.
Définition équivalente si est fini Dans le cas où est un réel, le théorème de Meyers-Serrin donne une définition équivalente, par complétion de l'espace vectoriel normé
avec
où est une dérivée partielle de au sens classique ().
On a le même résultat en remplaçant par
Propriétés élémentaires
Muni de cette norme, est un espace de Banach..
Soit une suite de Cauchy dans W(Ω). Pour chaque α tel que |α| ≤ m, la suite est alors de Cauchy dans (Ω) donc possède une limite dans (Ω). D'après l'inégalité de Hölder, tend alors aussi vers au sens des distributions — plus précisément : au sens de la convergence simple sur l'espace des fonctions tests — si bien que (pour chaque α), ce qui prouve que dans W(Ω).
Dans le cas où est fini, c'est aussi un espace séparable. On montre aisément que l'applicationest une norme équivalente à la précédente (que soit fini ou pas). Ces normes sont notées indifféremment ou .
Le cas p = 2
Dans le cas , les espaces de Sobolev ont un intérêt particulier car il s'agit alors d'espaces de Hilbert. Leur norme est induite par le produit scalaire suivant :
oùest le produit scalaire usuel dans , qui est bilinéaire dans le cas réel et hermitien dans le cas complexe. Dans ce cas, pour désigner l'espace de Sobolev, on utilise une notation spéciale :
De plus, dans le cas où la transformation de Fourier peut être définie dans , l'espace peut être défini de façon naturelle à partir de la transformée de Fourier.
Par exemple si , grâce à l'identité de Parseval, on vérifie aisément que si est la transformée de Fourier de :ou, ce qui est équivalent :et queest un produit hermitien équivalent à celui défini plus haut. Ou encore si , on vérifie que :où est la série de Fourier de .Là encore, le résultat se déduit aisément de l'identité de Parseval et du fait que la dérivation revient à multiplier le coefficient de Fourier par .On voit qu'une fonction de est caractérisée par une décroissance suffisamment rapide de ses coefficients de Fourier.
Espace de Sobolev d'ordre fractionnaire
L'habitude est prise, pour plus de clarté, de différencier la notation de l'ordre d'un espace de Sobolev selon qu'il est entier ou non. Alors que dans le cas entier on note souvent l'ordre avec la lettre m, dans le cas non entier, on utilisera la lettre s et donc les espaces seront notés W ou, pour p = 2, H.
Définition par la méthode d'interpolation complexe
Une première approche pour définir les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire consiste à utiliser la méthode d'interpolation complexe. (Ci-dessous une autre méthode, dite d'interpolation réelle sera utilisée pour la caractérisation des traces des espaces de Sobolev.)
L'interpolation complexe est une technique générale qui permet, à partir de deux espaces de Banach, d'en construire un troisième par interpolation. Plus précisément, soient deux espaces de Banach X et Y qui sont tous les deux inclus par injection continue dans un autre espace de Banach, alors, pour tout t tel que 0 ≤ t ≤ 1, on peut construire un espace interpolé noté : [X,Y]. (Les espaces X et Y forment la « paire d'interpolation ».)
Nous devons vérifier que cette définition est cohérente, ce qui est assuré par le résultat suivant :
On a ainsi construit de façon cohérente un continuum d'espaces entre les W. En fait, on utilise cette méthode pour définir les espaces W(ℝ). Pour un domaine quelconque suffisamment régulier, on procède ensuite à partir de W(ℝ) grâce à des opérateurs de prolongement.
Définition par ordre de dérivation fractionnaire
On s'intéresse d'abord ici au cas où p = 2 et Ω = ℝ. Dans ce cas, l'espace de Sobolev H(ℝ), s ≥ 0, peut être défini grâce à la transformée de Fourier :
H(ℝ) est un espace de Hilbert muni de la norme :
On montre que l'espace obtenu est le même que par la méthode d'interpolation. Cette définition peut être utilisée pour tout domaine sur lequel la transformée de Fourier peut être définie. Pour un domaine quelconque suffisamment régulier, on procède ensuite à partir de H(ℝ) grâce à des opérateurs de prolongement.
Cas où p = 2 et Ω ⊂ ℝ quelconque. On peut alors caractériser les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire H(Ω) grâce au produit intérieur donné par :
où s = k + T, k est un entier tel que 0 < T < 1 et n est la dimension du domaine . La norme induite est essentiellement l'analogue pour L2 de la continuité au sens de Hölder. Ici encore cette définition est équivalente aux définitions précédentes.
Cas où p est différent de 2 et Ω = ]0, 1[. Dans ce cas, l'égalité de Parseval ne tient plus, mais la dérivation correspond à une multiplication de la transformée de Fourier et peut être généralisée à des ordres non entiers. Dans ce but, on définit un opérateur de dérivation d'ordre fractionnaire s par :
En d'autres termes, il s'agit de prendre la transformée de Fourier, de la multiplier par et de prendre la transformée de Fourier inverse (les opérateurs définis par la séquence : transformation de Fourier – multiplication – transformation inverse de Fourier sont appelés des multiplicateurs de Fourier et sont actuellement un sujet de recherches en eux-mêmes). Cet opérateur nous permet alors de définir la norme de Sobolev de H(]0, 1[) par :
et de définir l'espace de Sobolev H(]0, 1[) comme l'espace des fonctions pour lesquelles cette norme est finie.
Traces et opérateurs de prolongement
Cette notion de trace n'a aucun lien avec la notion de trace d'une matrice.
Définition de la trace d'une fonction d'un espace de Sobolev Cas des espaces HSoit s > 1/2. Si Ω est un ouvert dont la frontière ∂Ω est suffisamment régulière, alors on peut définir un opérateur de trace T qui à une fonction u de H(Ω) associe sa trace, sa restriction sur la frontière de Ω : Une hypothèse simple qui satisfasse la condition de régularité est que ∂Ω soit uniformément C pour m ≥ s. Ainsi défini, cet opérateur de trace T a pour domaine de définition H(Ω) et son image est précisément H(∂Ω). En fait, T est d'abord défini pour les fonctions indéfiniment dérivables et cette définition est ensuite étendue par continuité à tout l'ensemble H(Ω). De façon informelle, on peut dire que l'on perd en régularité « une demi-dérivée » en prenant la trace d'une fonction de H(Ω). Cas des espaces W, pour p différent de 2Définir la trace d'une fonction de W est un travail considérablement plus difficile et demande d'utiliser la technique d'interpolation réelle. Les espaces images obtenus sont des espaces de Besov. De façon informelle, on peut dire que l'on perd en régularité 1/pème de dérivée en prenant la trace d'une fonction de W(Ω).
Opérateur de prolongement
Soit Ω un ouvert de ℝ suffisamment régulier (par exemple Ω est borné et sa frontière est localement Lipschitz), alors il existe un opérateur de prolongement P qui applique les fonctions définies sur Ω en fonctions définies sur ℝ de telle sorte que :
Pu(x) = u(x) pour presque tout x de Ω et P est un opérateur continu de W(Ω) dans W(ℝ), pour tout p ∈ et tout entier m.
P est appelé opérateur de prolongement de Ω. Comme nous l'avons vu ci-dessus, les opérateurs de prolongement sont utiles pour définir les espaces W(Ω) et H(Ω). En effet, une fois W(ℝ) et H(ℝ) définis, on pose alors
et
Fonctions nulles sur la frontière et extension par zéro
Soit Ω un ouvert de ℝ et soit C(Ω) l'espace des fonctions C à support compact dans Ω.
Dans le cas particulier Ω = ℝ, ce sous-espace de W(Ω) est dense pour tout p ∈ , 5.9..
On note W(Ω) (respectivement H(Ω)) l'adhérence de C(Ω) pour la norme de W(Ω) (respectivement, celle de H(Ω)).
Quand Ω a une frontière régulière, H(Ω) peut donc être décrit comme l'espace des fonctions de H(Ω) qui s'annulent au sens des traces. En dimension 1 (n = 1), si Ω = est un intervalle borné, alors H() est l'ensemble des fonctions u continues sur de la forme :
dont la dérivée généralisée u appartient à et a une intégrale nulle de telle sorte que .
Si Ω est borné, l'inégalité de Poincaré dit qu'il existe une constante C = C(Ω) telle que
Lorsque Ω est borné, l'injection de H(Ω) dans (Ω) est compacte, ce qui joue un rôle dans l'étude du problème de Dirichlet, et dans le fait qu'il existe une base orthonormée de (Ω) formée de vecteurs propres de l'opérateur de Laplace (avec des conditions aux limites de Dirichlet).
Si , de façon naturelle, on peut définir son extension par zéro en dehors de Ω, notée , de la façon suivante : si , et 0 sinon.
Espaces de Sobolev sur les variétés Soient et un entier naturel. Considérons une variété riemannienne (M, g) et notons ∇ la connexion de Levi-Cevita.
Définition Notons C(M) l'espace des fonctions u : M → ℝ de classe C telles que ∇u ∈ (M) pour 0 ≤ k ≤ m. L'espace de Sobolev W(M) est la complétion de C(M) pour la norme :
Cette définition est cohérente avec celle donnée par le théorème de Meyers-Serrin. En effet, un ouvert Ω de ℝ est muni de la métrique riemannienne induite par la structure euclidienne naturelle de ℝ.
Théorèmes de densité Pour une variété riemannienne complète, les fonctions C à support compact sont denses dans W(M).. Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité strictement positif et de courbure sectionnelle bornée, les fonctions C à support compact sont denses dans W(M) pour m ≥ 2.
Théorème de plongement de Sobolev
Soient s un réel positif, et p et q des réels réel tels que 1 ≤ p, q ≤ ∞. Nous noterons W l'espace de Sobolev d'ordre s d'une variété riemannienne compacte de dimension n.