En mathématiques, une suite de polynômes orthogonaux est une suite infinie de polynômes , , ... à coefficients réels, dans laquelle chaque est de degré , et telle que les polynômes de la suite sont orthogonaux deux à deux pour un produit scalaire de fonctions donné.

Cette notion est utilisée par exemple en cryptologie ou en analyse numérique. Elle permet de résoudre de nombreux problèmes de physique, comme en mécanique des fluides, en mécanique quantique ou en traitement du signal. De nombreux types de polynômes orthogonaux particuliers comme ceux de Legendre, de Tchebychev permettent d'approcher une fonction et, par leurs propriétés, de résoudre plus simplement des équations différentielles complexes.

Introduction

Le produit scalaire de fonctions le plus simple est l'intégrale du produit de ces fonctions, sur un intervalle borné :

Plus généralement, on peut introduire une « fonction poids » dans l'intégrale (sur l'intervalle d'intégration , doit être à valeurs finies et strictement positives, et l'intégrale du produit de la fonction poids par un polynôme doit être finie ; les bornes peuvent être infinies) :

Avec cette définition du produit scalaire, deux fonctions sont orthogonales entre elles si leur produit scalaire est égal à zéro (de la même manière que deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si leur produit scalaire égale zéro). On introduit alors la norme associée : ; le produit scalaire fait de l'ensemble de toutes les fonctions de norme finie un espace de Hilbert.

L'intervalle d'intégration est appelé intervalle d'orthogonalité.

Le domaine des polynômes orthogonaux s'est développé à la fin du à partir d'une étude sur les fractions continues par Pafnouti Tchebychev et a été poursuivi par Andreï Markov et Thomas Joannes Stieltjes. Gábor Szegő, Sergueï Bernstein, Naum Akhiezer, , Yakov Geronimus, Wolfgang Hahn, , , et Richard Askey ont également travaillé sur le sujet. De multiples applications en ont découlé en mathématiques et en physique.

Exemple : les polynômes de Legendre vignette|upright=1.5|Les six premiers polynômes de Legendre Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est ]-1, 1[ et la fonction poids est la fonction constante de valeur 1 :

Ils sont tous orthogonaux sur ]-1, 1[ :

Propriétés

Toute suite de polynômes , où chaque est de degré k, est une base de l'espace vectoriel (de dimension infinie) de tous les polynômes, « adaptée au drapeau ». Une suite de polynômes orthogonaux est une telle base qui est, de plus, orthogonale pour un certain produit scalaire. Ce produit scalaire étant fixé, une telle suite est presque unique (unique à produit près de ses vecteurs par des scalaires non nuls), et peut s'obtenir à partir de la base canonique (non orthogonale en général), par le procédé de Gram-Schmidt.

Quand on construit une base orthogonale, on peut être tenté de la rendre orthonormale, c'est-à-dire telle que pour tout n, en divisant chaque par sa norme. Dans le cas des polynômes, on préfère ne pas imposer cette condition supplémentaire car il en résulterait souvent des coefficients contenant des racines carrées. On préfère souvent choisir un multiplicateur tel que les coefficients restent rationnels, et donnent des formules aussi simples que possible. C'est la standardisation. Les polynômes « classiques » énumérés ci-dessous ont été ainsi standardisés ; typiquement, le coefficient de leur terme de plus haut degré ou leur valeur en un point ont été mis à une quantité donnée (pour les polynômes de Legendre, ). Cette standardisation est une convention qui pourrait aussi parfois être obtenue par une mise à l'échelle de la fonction poids correspondante. Notons

(la norme de est la racine carrée de ). Les valeurs de pour les polynômes standardisés sont énumérées dans le tableau ci-dessous. Nous avons

où est le symbole de Kronecker.

Toute suite de polynômes orthogonaux possède un grand nombre de propriétés remarquables. Pour commencer :

Lemme 1 : est une base de Lemme 2 : est orthogonal à .

Le lemme 1 est dû au fait que est de degré k. Le lemme 2 vient de ce que, de plus, les sont orthogonaux deux à deux.

Relation de récurrence Pour toute suite de polynômes orthogonaux, il existe une relation de récurrence relativement à trois polynômes consécutifs.

Les coefficients sont donnés par

où et désignent les deux premiers coefficients de :

et le produit scalaire de par lui-même : . (Par convention, , , et L sont bien des constantes.

Seconde forme de l'équation différentielle

Avec .

Alors

En multipliant maintenant l'équation différentielle

par R/Q, on obtient

ou encore

C'est la forme normalisée de Sturm-Liouville de l'équation.

Troisième forme de l'équation différentielle

En posant .

Alors :

En multipliant maintenant l'équation différentielle

par S/Q, on obtient :

ou encore

Mais , donc

ou, en posant u = Sy,

Tableau des polynômes orthogonaux classiques Pour des raisons de mise en page, ce tableau est scindé en trois parties. Nom et symbole conventionnel Tchebychev, Tchebychev(seconde sorte), Legendre, Hermite (forme physique), Limite d'orthogonalité Poids, Normalisation Coefficient dominant = Carré de la norme Coefficient dominant Coefficient suivant Constante dans l'équation différentielle Constante dans la formule de Rodrigues Relation de récurrence Relation de récurrence Relation de récurrence

Nom et symbole Laguerre associé Laguerre Limites d'orthogonalité Poids, Normalisation Coefficient dominant = Coefficient dominant = Carré de la norme Coefficient dominant Coefficient suivant Constante dans l'équation différentielle Constante dans la relation de Rodrigues Relation de récurrence Relation de récurrence Relation de récurrence

Nom et symbole Gegenbauer Jacobi Limites d'orthogonalité Poids Normalisation si Carré de la norme Coefficient dominant Coefficient suivant Constante dans l'équation différentielle Constante dans l'équation de Rodrigues Relation de récurrence Relation de récurrence Relation de récurrence

Généralisations et termes avancés

Polynômes orthogonaux à plusieurs variables Il est possible de définir des polynômes orthogonaux à plusieurs variables à l'aide d'intégrales multiples. C'est par exemple le cas des polynômes de Zernike, utiles en optique géométrique et en ophtalmologie, ou, plus généralement encore, celui des harmoniques sphériques.

Polynômes orthogonaux multiples

Une autre généralisation sont les polynômes orthogonaux multiples, qui sont des polynômes orthogonaux par rapport à un ensemble fini de mesures.

Polynômes orthogonaux discrets Les polynômes orthogonaux discrets sont des polynômes orthogonaux par rapport à une mesure discrète.

Polynômes quantiques Les polynômes quantiques ou les q-polynômes sont des q-analogues des polynômes orthogonaux.

Polynômes orthogonaux avec matrices Ce sont des polynômes orthogonaux impliquant des matrices. Les matrices peuvent être soit les coefficients soit l'indéterminée : Variante 1 : , où sont des matrices de taille . Variante 2 : , où est une matrice de taille et est la matrice identité.

Polynômes orthogonaux de Sobolev Ce sont des polynômes orthogonaux par rapport à un produit scalaire de Sobolev, c'est-à-dire un produit scalaire avec des dérivés.

Note

Annexes Bibliographie en français

Jean-Louis Ovaert, Polynômes orthogonaux, dans Dictionnaire des mathématiques, algèbre, analyse, géométrie'', Albin Michel et Encyclopædia Universalis, Paris, 1997

Bibliographie en anglais

Articles connexes Matrice aléatoire Mesure secondaire et Polynôme secondaire Polynôme d'Askey-Wilson Série de Fourier généralisée Développements asymptotiques de Plancherel-Rotach

Liens externes

Orthogonaux Catégorie:Orthogonalité Catégorie:Polynômes orthogonaux