En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. C'est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive. À deux vecteurs, elle associe un scalaire, c'est-à-dire un nombre semblable à ceux qui définissent cet espace vectoriel — réel pour un espace vectoriel réel.

Dans un espace vectoriel normé E sur le corps ℝ des nombres réels, le produit scalaire de par est le scalaire (l'élément de ℝ), noté , , , ou , égal à : , c'est-à-dire le produit des normes des vecteurs et par le cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs. (Voir plus loin pour une définition rigoureuse ; en général cette égalité est plutôt utilisée pour définir l'angle, via son cosinus, à partir du produit scalaire défini en amont.)

Le produit scalaire permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et (avec certaines modifications dans la définition) aux espaces vectoriels complexes.

Cette opération s'appelle « produit » en raison de certaines propriétés (distributivité sur l'addition, bilinéarité), mais il ne s'agit pas du seul produit qu'on puisse associer à deux vecteurs — voir par exemple le produit vectoriel, dont certaines propriétés sont liées au produit scalaire.

Comme il existe deux grandes manières de définir les vecteurs, soit par une approche purement algébrique (voir l'article « Espace vectoriel »), soit par une approche géométrique à l'aide des bipoints (ou couple de points, voir « Vecteur »), il existe de même deux manières de présenter le produit scalaire : une manière algébrique (objet de l'article « Espace préhilbertien »), et une manière géométrique, à l'aide de bipoints.

Historiquement, le produit scalaire s'est présenté de manière géométrique dans un espace euclidien traditionnel, avant que la notion ne s'étende à tout espace vectoriel réelL'objectif de cet article est de suivre cette démarche, pour une présentation plus technique, voir « Espace préhilbertien » ou « Espace euclidien »..

La notion de produit scalaire se généralise à un espace vectoriel complexe. Dans ce cas, le produit scalaire n'est plus une forme bilinéaire mais une forme sesquilinéaire. On parle de produit scalaire hermitien.

Aperçu des applications du produit scalaire Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force.

En géométrie analytique, il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan. Ce domaine est le sujet de cet article. Dans le cas de la dimension finie quelconque, il dispose de nombreuses applications algébriques : il permet de classifier les quadriques, offre des outils pour la réduction d'endomorphismes ou encore est à la base de multiples techniques statistiques comme la méthode des moindres carrés ou l'analyse en composantes principales. En géométrie, il confère à l'espace vectoriel une structure d'espace métrique disposant de nombreuses propriétés comme la complétude.

Le produit scalaire est aussi utilisé dans des espaces de dimension infinie, il permet alors de résoudre des équations aux dérivées partielles. La théorie devient plus subtile et de nombreux résultats, vrais en dimension finie, prennent une autre forme.

Enfin, l'article « Géométrie euclidienne » propose une synthèse de l'histoire, des implications et applications du produit scalaire en dimension finie.

Fragments d'histoire Élément important de calcul en géométrie euclidienne, le produit scalaire apparaît cependant assez tard dans l'histoire des mathématiques. On en trouve trace chez Hamilton en 1843 lorsqu'il crée le corps des quaternions et chez Grassmann H. G. Grassmann (1847), , Leipzig... Peano le définit ensuite associé à un calcul d'aire ou de déterminant. Roberto Marcolongo et Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus d'un angle et lui donnent le nom de produit intérieur ou produit scalaire. C'est sous cette forme qu'il apparaît par la suite. Sa qualité de forme bilinéaire symétrique sera ensuite exploitée en algèbre linéaire et, de propriété, deviendra définition.

La notation du produit scalaire à l'aide d'un point ou d'une croix provient de Willard Gibbs, dans les années 1880.

Pourtant, l'expression produit scalaire apparaît pour la première foisSelon le site . dans une publication scientifique dans un livre de William Kingdon Clifford daté de 1878. Cette paternité est néanmoins remise en cause par Michael J. Crowe, pour qui le travail de Clifford est une transition entre l'algèbre des quaternions décrite par Hamilton et la formalisation des espaces vectoriels.

Définitions et premières propriétés Dans cette section, on considèrera un espace traditionnel tel qu'il est défini par Euclide : un plan ou un espace formé de points dans lequel les notions de distance et d'angle sont connues. On sait aussi calculer le cosinus de tout angle géométrique. Sont également utilisables le théorème de Pythagore, la loi des cosinus et le théorème de Thalès. La construction géométrique des vecteurs dans un tel espace est détaillée dans l'article « Vecteur ».

Soient deux vecteurs représentés par des bipoints de même origine et . De tels représentants existent quel que soit le choix des vecteurs. Dans le reste de l'article, la longueur du bipoint est notée ou parfois , c'est donc un nombre réel positif.

Sans se soucier de définir un repère et de nommer des points, on peut dire que le produit scalaire de 2 vecteurs et est donné par :

Dans le cas où aucun des vecteurs n'est nul, cette définition prend la forme suivante :

Ici, désigne la fonction mathématique cosinus et représente l'angle géométrique de sommet , dessiné par les points , et .

Dans le cas où les deux vecteurs sont égaux, la notation suivante est utilisée :

La valeur du produit scalaire correspond alors à l'aire d'un carré de côté .

Une inégalité est vérifiée par le produit scalaire ainsi défini :

Cette majoration provient du fait que la fonction cosinus prend ses valeurs dans l'intervalle [–1, 1]. Pour que l'égalité ait lieu, il faut et il suffit que le cosinus ait pour valeur soit 1, soit –1, c'est-à-dire que l'angle soit nul ou plat, ce qui signifie bien que les trois points sont alignés. Cette inégalité est l'objet de l'article « Inégalité de Cauchy-Schwarz », qui suppose encore une formalisation algébrique différente de celle choisie ici.

Propriétés géométriques Projeté

La définition précédente suppose connue la définition de la fonction cosinus. Il est possible d'éviter de faire appel à cette fonction.

Soit , et , trois points distincts, la trigonométrie du triangle rectangle permet de calculer le produit scalaire grâce à une projection orthogonale. En effet, si est le projeté orthogonal de sur la droite , le produit scalaire est alors en valeur absolue égal au produit des distances et . Si se trouve entre et , le produit scalaire est négatif et positif sinon. On remarque que si est confondu avec , alors le produit scalaire est nul.

Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le travail d'une force lors d'un déplacement : le travail de la force F selon le trajet entre le point A et le point B, trajet noté u, est le produit scalaire des deux vecteurs. Dans la seconde illustration, ce travail est égal à .

Loi des cosinus

vignette|redresse=1|La loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore. Elle se démontre de manière analogue, par une méthode de découpage des aires.

Il existe une manière plus générale d'exprimer le théorème de Pythagore connue sous les noms de théorème d'Al-Kashi (en France) ou encore théorème de Pythagore généralisé. Elle traite le cas d'un triangle quelconque. Avec les notations de la figure de droite, ce résultat, nommé loi des cosinus s'exprime de la manière suivante :   ou encore   . Une démonstration se trouve dans l'article détaillé. Ce résultat s'exprime en matière de produit scalaire :

Le caractère plus général de cette formulation permet d'expliciter et de démontrer simplement les propriétés algébriques du produit scalaire. Le théorème de la médiane est un cas particulier.

Produit scalaire comme une aire vignette|Définition du produit scalaire par les aires.

L'expression par le produit scalaire de la loi des cosinus suggère une formulation du produit scalaire en matière d'aire. Le produit scalaire, en utilisant les notations du paragraphe sur le projeté, correspond à l'aire du rectangle de base et de hauteur .

Considérons le produit scalaire dans un plan orienté, de vers dans la figure de droite. Le produit scalaire des vecteurs et est égal à l'aire orientée du parallélogramme construit grâce aux vecteurs et . Le vecteur est l'image du vecteur par une rotation d'angle droit direct. Cette approche est celle de Peano. Pour ce faire, il utilise un outil appelé déterminant, et utilise la formulation suivante du produit scalaire, par construction géométrique, équivalente à celle de l'article : .

Sur le dessin, les parallélogrammes ont été déformés en rectangles de même aire par la propriété de cisaillement. L'aire verte correspond à un produit scalaire positif et l'aire rose à un produit scalaire négatif.

Cette forme géométrique possède un avantage certain, elle permet d'établir les propriétés algébriques du produit scalaire. Ces propriétés sont utiles, à la fois pour établir une expression analytique utile à la résolution de nombreux problèmes et pour établir une nouvelle formulation à la fois plus générale et plus opérationnelle.

Orthogonalité, colinéarité et angle De telles définitions du produit scalaire donnent des outils intéressants pour vérifier une orthogonalité, une colinéarité ou déterminer un angle géométrique.

Orthogonalité : les vecteurs et sont orthogonaux si l'un ou l'autre des vecteurs est nul ou si l'angle géométrique est droit. En matière de produit scalaire, cela se traduit par une seule condition et sont orthogonaux si et seulement si .

Colinéarité : les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si les points , et sont sur une même droite. En matière de produit scalaire, cela se traduit par et sont colinéaires si et seulement si . Cette définition se lit aussi ainsi : deux vecteurs sont colinéaires si la valeur absolue de leur produit scalaire est égale au produit de leurs longueurs.

Angle géométrique : si et sont deux vecteurs non nuls, l'angle géométrique est déterminé par l'égalité .

Propriétés algébriques

Pour une raison de simplicité, d'autres notations sont utilisées. Les vecteurs ne sont plus notés comme des bipoints, comme mais simplement avec une lettre : . Le produit scalaire est alors toujours noté par un point : . Il arrive aussi que les vecteurs soient notés sans flèches ; pour éviter la confusion entre le produit d'un scalaire par un vecteur et le produit scalaire entre deux vecteurs, le produit scalaire est alors noté (u, v) ou encore . Une convention, pas toujours suivie consiste à choisir des lettres grecques pour les scalaires, permettant ainsi d'éviter des confusions. Dans la suite de l'article, la convention suivie est celle du vecteur surmonté d'une flèche et du produit scalaire noté par un point.

Le terme de produit scalaire suggère l'existence d'une opération qui, à deux vecteurs, associe un scalaire. Dans un espace vectoriel, les scalaires sont les coefficients par lesquels on a le droit de multiplier les vecteurs. Dans une approche élémentaire, ces scalaires sont des réels. Le fait d'appeler cette opération un produit suggère l'existence de propriétés que l'on attend généralement d'un produit (commutativité, distributivité par rapport à l'addition…).

Symétrie