Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (, Düren – , Göttingen) est un mathématicien allemand qui apporta de profondes contributions à la théorie des nombres, en créant le domaine de la théorie analytique des nombres et à la théorie des séries de Fourier. On lui doit d'autres avancées en analyse mathématique. On lui attribue la définition formelle moderne d'une fonction.
Biographie Patronyme Gustav Lejeune DirichletAinsi que se nommait lui-même le mathématicien . naît le à Düren, fils d'Anna Élisabeth Lindner et de Johann Arnold Lejeune Dirichlet, maître de poste et commerçant. Le grand-père paternel de Gustav a émigré à Düren depuis Richelle, où il rencontre sa future femme et s'installe définitivement. Le nom , qui ne semble pas venu des terres germanophones, rappelle en patois wallon son origine, , la localité wallonne. La famille Dirichlet s'agrandissant, il a fallu différencier les générations, et c'est ainsi qu'on commence à utiliser le nom ou pour désigner les nouveaux membres et les distinguer du grand-père, le vieux Dirichlet. Cette pratique linguistique a donné au grand mathématicien son nom complet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
L'orthographe « Lejeune Dirichlet » (sans tiret), celle qu'adoptait le mathématicien de son vivant, est très majoritaire, mais on trouve parfois « Lejeune-Dirichlet »Par exemple sur sa tombe, voir :File:Bartholomäusfriedhof Göttingen Grab Lejeune-Dirichlet.jpg..
Jeunesse (1805-1822) Dirichlet, cadet d'une fratrie de sept enfants, est élevé au sein d'une famille cultivée et aisée, ce qui lui permet de suivre des études qui, à l'époque ne sont pas ouvertes à tous. Sa mère, intelligente, ne tarde pas à percevoir les capacités de son fils, et son père n'hésite pas à financer son éducation. Le jeune Gustav commence ses études à l'école primaire à un moment de profonde réorganisation du système éducatif prussien. Lorsque l'école primaire s'avère insuffisante pour le jeune élève, ses parents le placent dans une école privée où, parmi les matières, il étudie le latin, afin de se préparer pour l'école secondaire ou Gymnasium. Si Dirichlet ne brille pas en latin, il excelle en mathématiques, qui deviennent sa passion. Il n'a pas encore douze ans lorsqu'il achète et lit des livres de mathématiques. Devant les dispositions de leur fils, ses parents mobilisent tous les moyens à leur disposition pour payer ses études. En 1817, ils accompagnent leur fils à Bonn, où ils le confient à un proche de la famille, le théologien et philosophe Peter Joseph Elvenich, un brillant étudiant en philosophie et langues anciennes, catholique comme eux, nouvel enseignant au Beethoven Gymnasium de la ville. Elvenich ne doit guère superviser le jeune Dirichlet et tous les deux entretiennent des relations courtoises et cordiales pendant tout le séjour. En 1820, Dirichlet entre au Gymnasium jésuite de la ville de Cologne, où il montre un intérêt particulier pour les mathématiques et a la chance de rencontrer le physicien et mathématicien Georg Ohm, alors professeur au Gymnasium. Sous la direction d'Ohm, Dirichlet progresse rapidement et lit chez lui tous les textes de mathématiques sur lesquels il peut mettre la main, atteignant ainsi un niveau de connaissances peu habituel pour son jeune âge, sur tout ce que l'on sait alors des mathématiques. Il ne passe qu'un an au Gymnasium de Cologne, à l'issue duquel il obtient son certificat scolaire et cesse donc d'assister aux cours. Mais il ne réussit pas l'abitur, car il n'est pas capable de tenir une conversation en latin. Il a alors seize ans et un excellent bagage mathématique.
Études à Paris (1822-1826) Dirichlet convainc ses parents de soutenir ses études de mathématiques, bien qu'ils souhaitent le voir embrasser une carrière de juriste. Comme les conditions d'étude de cette matière en Prusse n'étaient pas comparables à celles de France, les parents de Peter Gustav décident de l'y envoyer. C'est ainsi qu'en Dirichlet part étudier à Paris. Il y suit des cours au Collège de France et à la Faculté des sciences, où il assiste à des conférences de professeurs tels que Sylvestre-François Lacroix, Jean-Baptiste Biot, Jean Nicolas Pierre Hachette ou Louis-Benjamin Francœur, tout en entreprenant la lecture personnelle des Disquisitiones arithmeticae livre qu'il lira et relira inlassablement toute sa vie. Sa soif d'apprendre est insatiable et il demande aussi à assister à des cours de l'École polytechnique, mais le chargé d'affaires prussien à Paris lui répond que ce n'est pas possible. Il passe l'année universitaire 1822-1823 plongé dans ses études. À l'été 1823, il est recommandé au général Foy, qui l'embauche comme professeur d'allemand pour ses enfants, avec à la clé un salaire lui permettant enfin de se libérer de la tutelle financière de ses parents. Grâce à son sens de la conversation, Dirichlet est rapidement considéré comme un membre de la famille, ce qui lui permet de découvrir la vie sociale de l'élite parisienne. Il se sent bientôt à son aise dans le monde universitaire parisien et commence à collaborer avec certains de ses professeurs, qui profitent de sa connaissance de l'allemand. Sa première œuvre véritablement universitaire est une traduction vers le français d'un article sur l'hydrodynamique.
Sa première recherche, à savoir la démonstration du dernier théorème de Fermat pour le cas n = 5, lui vaut une renommée immédiate, car c'est la première avancée dans la démonstration de ce célèbre théorème depuis celle de Fermat du cas n = 4 et celle d'Euler du cas n = 3. Le , il est invité à donner sa première conférence à l'Académie des sciences, avant même d'avoir publié et sans être en possession d'un diplôme universitaire. Son exposé est un succès, la démonstration, quoique partielle, sera corrigée plus tard par lui-même, et par l'un de ses évaluateurs, Adrien-Marie Legendre. En 1832, le jeune Allemand franchit une nouvelle étape : alors qu'il tente de démontrer le cas n = 7, il réussit à démontrer qu'il n'existe aucune solution pour n = 14. Ses échanges avec certains des académiciens comptant parmi les plus brillants contribuent à améliorer sa vision des mathématiques et lui font découvrir les méthodes de travail des grandes figures de l'époque. Il discute notamment avec des mathématiciens reconnus tels que Fourier et Poisson, ce qui éveille son intérêt pour la physique mathématique. Sa rencontre avec Fourier et l'étude de sa Théorie analytique de la chaleur influenceront ses travaux ultérieurs, avec parmi eux la démonstration de la convergence des séries de Fourier.
À la mort du général Foy en , il perd son protecteur, et son travail de répétiteur va bientôt toucher à sa fin. Grâce aux recommandations de Fourier et de Poisson, il entre en contact avec Alexander von Humboldt. Le jeune Dirichlet l'impressionne et il n'hésite pas à lui offrir son aide, notamment lorsque Dirichlet lui confie son intention de retourner vers sa Prusse natale, si cela peut lui permettre d'obtenir un poste. Humboldt le soutient et lui explique qu'il tente de faire de Berlin un centre de recherche sur les mathématiques et les sciences naturelles. Afin de s'assurer un maximum de soutien, Dirichlet adresse le une missive au ministre prussien de l'Éducation, Karl von Altenstein, contenant une demande, une réimpression de ses mémoires sur le dernier théorème de Fermat et une lettre de recommandation de von Humboldt, vieil ami du ministre. Il ajoute à ses lettres une copie de ses mémoires sur le problème de Fermat et une copie de sa traduction de l'œuvre d'Eytelwein, en plus d'une autre recommandation de von Humboldt. Enfin, le , il adresse à Carl Friedrich Gauss une lettre, accompagnée de ses mémoires sur le problème de Fermat et d'une autre lettre de recommandation de von Humboldt. Le , Gauss lui écrit sur un ton paternel, exprimant sa satisfaction d'avoir reçu . Optimiste, Dirichlet retourne à Düren pour y attendre la suite des événements.
Retour en Prusse (1825-1828) Grâce au soutien de Humboldt et de Gauss, Dirichlet se voit offrir un poste d'enseignant à l'université de Breslau. Cependant, n'ayant pas encore soutenu de thèse de doctorat, il soumet un mémoire sur le théorème de Fermat en vue de l'obtention d'une thèse à l'université de Bonn. À nouveau, son manque de maîtrise du latin le rend incapable de la défendre publiquement. Après de longues discussions, l'université décide de contourner le problème en lui décernant un doctorat honorifique en . De plus, le ministre de l'Éducation, Karl von Altenstein, insiste pour qu'il occupe sans tarder le poste vacant de Breslau. Il quitte Düren pour rejoindre Breslau afin d'assumer ses fonctions et en profite pour passer par Göttingen, où il rencontre, le , Gauss, qui le reçoit en toute amitié. Puisqu'il enseigne à Breslau en tant que privat-docent, il s'attache à obtenir l'habilitation qui lui permettra d'être reconnu en tant que professeur universitaire. Selon les normes en vigueur, il doit remplir trois conditions : donner une conférence test, écrire une thèse en latin et la défendre lors d'un oral public en latin. Dirichlet remplit la première condition sans aucune difficulté, le thème de la conférence étant la démonstration de Lambert sur l'irrationalité du nombre pi. Pour remplir la seconde condition, Dirichlet écrit une thèse sur un problème théorique, qui sera imprimée début 1828 et envoyée au ministre Altenstein. La troisième condition pose un problème insurmontable à Dirichlet, incapable de parler couramment latin. Il décide finalement d'écrire au ministre pour lui demander d'être dispensé de la défense orale de sa thèse. Sa demande est accordée, ce qui provoque la colère de certains membres de la communauté universitaire. Une fois ces conditions remplies, Dirichlet est promu au rang des professeurs associés. Il semble qu'il ne se soit jamais senti à l'aise à Breslau, où il n'a pas la possibilité d'échanger des points de vue avec des chercheurs prestigieux comme ceux qu'il a connus à Paris. Néanmoins, on dispose de nombre de témoignages de collègues qui le tiennent en haute estime.