D'un point de vue historique, lécole italienne de géométrie algébrique fait référence à un grand groupe de mathématiciens italiens des qui, avec leur travail vaste, profond et cohérent, mené méthodologiquement avec une approche d'étude et de recherche communeCfr. A. Brigaglia, The Creation and Persistence of National Schools: The Case of Italian Algebraic Geometry, (p. 188-189), in: U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico (Eds.), Changing Images in Mathematics. From the French Revolution to the New Millennium, Routledge, London, 2001, Ch. 9, p. 187-206., a amené l'Italie au plus haut niveau en géométrie algébrique, en particulier en géométrie birationnelle et en théorie des surfaces algébriques, avec des résultats originaux de premier ordre.
La naissance de l'école, son contexte historique, les principaux résultats vignette|droite|Guido Castelnuovo (1865-1952). Les dirigeants sont d'abord Guido Castelnuovo, Federigo Enriques et Francesco Severi, qui, avec leur style d'enseignement original, leurs méthodes d'étude efficaces et leurs stratégies innovantes pour aborder les questions de recherche, contribuent à la fois à donner les meilleurs résultats et à guider et diriger les autres disciples, certains d'entre eux venus de l'étranger, dont Pavel AleksandrovP. Nastasi, R. Tazzioli, Tullio Levi-Civita, lettera matematica pristem, N. 57-58, Springer-Verlag Italia, Milano, 2006, p. 50.; André Weil, Oscar Zariski. Sur la base des travaux menés par ces savants, à partir de la seconde moitié du , une nouvelle formulation théorique de la géométrie algébrique commence à s'imposer, principalement axiomatique et surtout caractérisée par l'utilisation systématique de l'algèbre commutative, tant par l'école américaine (Oscar Zariski, Solomon Lefschetz, David Mumford et autres) et de l'école française (André Weil, Alexandre Grothendieck, Jean-Pierre Serre et autres), qui semblent d'abord critiquer, dans la rigueur du traitement, l'œuvre de l'école italienne, plus fondée sur la primauté de l'intuition que de la formalisation. Cependant, ce n'est que récemment, surtout grâce à David Mumford, que l'importance novatrice des travaux de l'école italienne est globalement réévaluée, ce qui fournit les fondements intuitifs sur lesquels se fondent nombre des formalisations ultérieures de la théorie A. Weil, Foundations of Algebraic Geometry, AMS-American Mathematical Society Colloquium Publications, Volume No. 29, Revised Edition, Providence (RI), 1962, Introduction (written in 1944 for the first edition of 1946), p. vii-xii.J. Tate, The work of David Mumford, (p. 219-220), in: M.F. Atiyah, D. Iagolnitzer (Eds.) Field Medallists' Lectures, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1997, p. 219-225.A. Brigaglia, C. Ciliberto, Remarks on the relations between the Italian and American schools of algebraic geometry in the first decades of the 20th century, Historia Mathematica, 31 (3) (2004) p. 310-319.J. Dieudonné, History of Algebraic Geometry. An Outline of the History and Development of Algebraic Geometry, Chapman & Hall, New York, 1985, Ch. VI, Sect. 4, N. 47, p. 52.D. Mumford, Algebraic Geometry I. Complex Projective Varieties, Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 1976, Introduction, p. vii-viii..
Le contexte historique vignette|Federigo Enriques (1871-1946). Après l'introduction des géométries non euclidiennes, à la suite de la crise des fondements des mathématiques et de ses méthodes logiques, il existe deux directions principales de la géométrie, l'algébrique et la topologique différentielleG. Geymonat, A. Sanini, P. Valabrega, Geometria e topologia, (p. 616-617), in: , 16 vol., Giulio Einaudi editore, Torino, 1977-1984, Vol. 6, p. 616-723.U. Bottazzini, I geometri italiani e il problema dei fondamenti (1888-1899), Bollettino dell'Unione Matematica Italiana. La Matematica nella Società e nella Cultura, 4-A (8) (2001) p. 281-329.. La géométrie algébrique moderne est fondamentalement née avec les travaux de RiemannMais l'orientation topologique-différentielle s'inspire aussi essentiellement des travaux de Riemann sur les variétés générales à n dimensions, dans lesquelles les aspects différentiels, algébriques et topologiques sont étroitement liés dans l'approche (riemannienne) de l'étude de ces entités. Ce sera plus tard Henri Poincaré, toujours sur la base de ses recherches en mécanique céleste, qui donnera des bases formelles solides et rigoureuses aux intuitions géniales de Riemann, marquant ainsi officiellement la naissance de la topologie (Analysis situs); cfr. G. Geymonat et al., cit., p. 617., qui jettent les bases de l'étude de ces propriétés géométriques invariantes sous des transformations plus générales que projectives, pour lesquelles, dans ses travaux, on trouve, à l'état embryonnaire, ce qui est l'un des problèmes centraux de la géométrie algébriqueQui concerne cependant aussi l'autre direction topologique-différentielle, qui se caractérise également par la recherche d'invariants (topologiques) de certaines transformations entre espaces topologiques., ou celui de la classification des différentes entités géométriques étudiées, dont le problème conséquent est éclairci grâce au programme d'Erlangen de Felix Klein, qui indique la voie à suivre, c'est-à-dire celle basée sur l'invariance par rapport à certaines transformations de groupe G. Geymonat et al., cit., p. 617..
À partir de ce moment, le développement de la géométrie algébrique est largement caractérisé par la dichotomie « intuition/rigueur », par rapport à laquelle l'école italienne a sa propre conception de la rigueur mathématique, bien distincte de celle assumée par l'école suivante des auto-appelés « algébriseurs », qui comprennent, entre autres, Hilbert, Zariski, Weil, Serre, Grothendieck. Mais, en remontant encore plus loin, c'est dans les travaux de l'école française (notamment celles de Gaspard Monge, Charles Julien Brianchon, Jean-Victor Poncelet et Michel Chasles) et de l'école allemande (par August Ferdinand Möbius, Karl Georg Christian von Staudt, Jakob Steiner, Julius Plücker, Hermann Günther Grassmann, Ernst Kummer et Leopold Kronecker) en géométrie projective complexe, que commence le nouveau traitement des entités géométriques - surtout les coniques et les quadriques dans l'espace tridimensionnel - caractérisé par l'utilisation des méthodes et des concepts de géométrie projective sur le corps complexe et sa clôture algébrique, ce qui donne naissance à une théorie algébrique nouvelle et plus puissante des courbes et des surfaces qui va bien au-delà de ce qui a déjà été réalisé par Isaac Newton, Colin Maclaurin, Leonhard Euler, Gabriel Cramer, Joseph-Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauss, Étienne Bobillier et George BooleCiro Ciliberto, Geometria algebrica. Lo sviluppo delle idee, (p. 797), in: Enciclopedia del Novecento, Vol. X, Suppl. II (1998) p. 797-811.E. Vesentini, Geometria, (p. 335-336), in: Enciclopedia del Novecento, Supplemento II, 1998, p. 335-348..
vignette|Luigi Cremona (1830-1903). Cet héritage est ensuite, dès la seconde moitié du , acquis à la fois par Riemann, comme déjà mentionné, et par Luigi Cremona, le fondateur de l'école italienne de géométrie algébrique, à qui l'on doit le mérite d'avoir utilisé, de manière ciblée et systématique, des techniques algébriques efficaces dans l'étude de la géométrie projective et de ses entités, introduisant, pour la première fois, les nouvelles méthodes de la théorie algébrique des invariants et des formes algébriques ouvertes par Boole, James Joseph Sylvester, Arthur Cayley, , Alfred Clebsch, George Salmon, Ludwig Otto Hesse, Charles Hermite et Paul Gordan. Cependant, le principal mérite de Cremona est d'avoir introduit et étudié, vers 1860, sur la base d'exemples particuliers introduits par Poncelet, Plücker, Steiner et , la notion formelle générale de transformation birationnelle (appelée plus tard, en son honneur, transformation crémonienne), c'est-à-dire une transformation (fonctionnelle) qui peut s'exprimer, en coordonnées cartésiennes, au moyen de fonctions rationnelles, et dont, en général, l'inverse a la même propriétéC. Ciliberto, cit., p. 798; E. Vesentini, cit., p. 335..
Grâce à la notion de transformation birationnelle, il est possible d'établir les premières classifications des variétés algébriques - les nouvelles entités de la géométrie algébrique - à partir des propriétés formelles des transformations crémoniennes auxquelles ces variétés sont soumises et des singularités relatives que ces transformations possèdent en général comme fonctions rationnellesAinsi, par exemple, deux courbes algébriques ne sont équivalentes du point de vue birationnel que si elles ont le même genre; cfr. G. Geymonat et al., cit., p. 704.. Mais, d'un point de vue historique, il convient de rappeler le rôle fondamental joué par les travaux de Riemann sur les intégrales abéliennes dans l'arrivée de Cremona à la notion générale de transformation birationnelle, travaux qui sont d'ailleurs menés, par Riemann, avec des méthodes analytiques, basé sur les résultats précédents de Giulio Fagnano, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, Niels Henrik Abel et Carl Jacobi sur les intégrales elliptiques. Dans la foulée de ces travaux, Riemann introduit la notion fondamentale de genre g d'une courbe algébrique, un invariant topologique qui permet de classer les courbes algébriquesC. Ciliberto, cit., p. 798; G. Geymonat et al., cit., p. 646-648..
150px 150px|Bernhard Riemann (1826-1866) et Gustav Roch (1839–1866). Précisément, après avoir appelé r le nombre maximal de fonctions rationnelles qui sont, par rapport à la courbe donnée, linéairement indépendantes avec un nombre donné n de singularités, Riemann, avec son élève Gustav Roch, prouve que r ≥ n - g + 1, un résultat qui sera plus tard inclus dans le théorème de Riemann-Roch. De plus, en introduisant la notion de transformation birationnelle entre courbes algébriques, Riemann arrive au résultat important selon lequel l'invariant principal de telles transformations est le champ formé par l'ensemble des transformations birationnelles agissant sur cette courbe, par lequel on arrive alors à définir l' espace des modules M g des courbes algébriques de genre g, auquel est associé un autre invariant, qui vaut 0 si g=0, 1 si g=1 et 3(g - 1) si g ≥ 2. Tous ces résultats analytiques riemanniens pionniers sont ensuite repris par Clebsch, qui les contextualise d'un point de vue plus proprement algébrico-géométrique, créant ainsi un lien remarquable entre la théorie analytique de Riemann et celle algébrico-géométrique, prélude à la naissance de la géométrie algébrique moderneC. Ciliberto, cit., p. 798-99..
À partir de 1870 environ, Max Noether commence à appliquer systématiquement les résultats issus progressivement de l'algèbre commutative - et auxquels il contribue lui-même - à ce qui a déjà été établi en géométrie algébrique par les mathématiciens qui viennent d'être cités plus haut, atteignant un premier résultat algébrique notable, connu sous le nom de théorème Af+BΦ, qui permet de déterminer des combinaisons polynomiales convenables, grâce auxquelles Max Noether pourra obtenir d'autres résultats géométriques tout aussi notables, dont celui qui permet d'obtenir, à partir d'autres données, des courbes algébriques avec des singularités plus simples ou d'ordre inférieur, par des transformations crémoniennes appropriées. Après cela, avec Alexander von Brill, Max Noether est parvenu, comme Clebsch, à encadrer la théorie analytique riemannienne (mentionnée ci-dessus) en termes algébrico-géométriques, surtout à travers la notion centrale de série linéaire qui nous permet d'identifier une série bien précise de points d'une courbe algébrique, appelés ses diviseurs effectifs, obtenus par intersection de celle-ci, préalablement plongée dans un espace projectif convenable, avec un système linéaire d'hypersurfacesCfr. C. Ciliberto, cit., p. 799..
vignette|Max Noether (1844-1921).