Dans la théorie des matrices, la formule de Sylvester ou le théorème matriciel de Sylvester (du nom de JJ Sylvester ) ou l'interpolation de Lagrange-Sylvester exprime une fonction analytique d'une matrice comme un polynôme en , en termes de valeurs propres et de vecteurs propres de , a section of Fundamentals of Geophysical Data Processing.. Il établit que

où les sont les valeurs propres de , et les matrices

sont les covariantes de Frobenius correspondants de , qui sont des polynômes interpolateurs de Lagrange matriciels (de projection) de .

Conditions La formule de Sylvester s'applique à toute matrice diagonalisable avec valeurs propres distinctes, 1, …, k, et à toute fonction définie sur un sous-ensemble de nombres complexes tel que soit bien définie. La dernière condition signifie que chaque valeur propre est dans le domaine de , et que chaque valeur propre de multiplicité est à l'intérieur du domaine, étant ( ) fois différentiable à .

Exemple On considère la matrice carrée de taille 2 :

Cette matrice a deux valeurs propres, 5 et −2. Ses covariantes de Frobenius sont

La formule de Sylvester amène alors à

Par exemple, si est défini par , alors la formule de Sylvester exprime l'inverse matriciel comme

Généralisation La formule de Sylvester n'est valable que pour les matrices diagonalisables ; une extension due à Arthur Buchheim, basée sur les polynômes d'interpolation d'Hermite, couvre le cas général :

,

où .

Une forme concise est plus tard donnée par Hans Schwerdtfeger:

,

où les sont les covariantes de Frobenius correspondantes de .

Cas particulier Si une matrice est à la fois hermitienne et unitaire, alors elle ne peut avoir que des valeurs propres égales à , et donc , où est le projecteur sur le sous-espace de valeur propre +1, et est le projecteur sur le sous-espace de valeur propre ; comme la base propre est génératrice, . Par conséquent, pour toute fonction analytique ,

En particulier, et .

Voir également

Matrice d'ajustement Calcul fonctionnel holomorphe Formalisme résolvant

Références

Notes

Bibliographie

Catégorie:Polynôme Catégorie:Matrice