vignette|redresse|Karl Schwarzschild (1873-1916). vignette|redresse|Article numérisé original de Karl Schwarzschild en allemand.
En astrophysique, dans le cadre de la relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une solution des équations d'Einstein.
La métrique s'interprète comme décrivant le champ gravitationnel au voisinage externe d'un corps isolé, à symétrie sphérique, statique (sans rotation), non chargé et entouré de vide. Cette masse peut être une étoile, une planète ou un trou noir de Schwarzschild.
On ne prend pas en compte ici le rayon de la sphère, ni même sa densité, on considère seulement que la masse est concentrée en dessous de r (distance radiale), la métrique est donc valide uniquement à l’extérieur de la sphère.
La plupart des tests de la relativité générale dans le Système solaire sont basés sur l'étude des géodésiques de cette métrique.
Présentation générale La métrique de Schwarzschild est l'analogue, en relativité générale, du champ gravitationnel d'une masse ponctuelle en gravitation newtonienne.
L'équation d'Einstein, dont la métrique est une solution, est l'équation pour le vide et en l'absence de constante cosmologique .
L'espace-temps, dont la métrique décrit la géométrie, a quatre dimensions ; il est vide mais courbe ; sa courbure n'est pas constante et il est asymptotiquement plat ; il est à symétrie sphérique et stationnaire ; il est statique à l'extérieur d'un rayon critique : le rayon de Schwarzschild ; et, lorsque le vide s'étend au-delà de ce rayon, la métrique met en évidence un trou noir : le trou noir de Schwarzschild.
La métrique de Schwarzschild admet quatre champs de Killing.
Historique L'éponyme de la métrique de Schwarzschild est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (-) qui l'a découverte en Johannes Droste, un élève de Hendrik Lorentz, a obtenu indépendamment mais surtout avant Schwarzschild la même solution. Cf. Einstein, A., Œuvres choisies, Relativités I, Ed. Le Seuil, CNRS, Coll. Sources du savoir, n. 9, . et Einstein, A., Œuvres choisies, Relativités II, n. 18, .. Elle est la première solution exacte à l'équation du champ gravitationnel d'Albert Einstein comprenant une masse. Schwarzschild l'a obtenue à partir de la version de l'équation énoncée par Einstein dans son article sur l'avance du périhélie de Mercure, publié le .
La métrique de Schwarzschild est parfois dite « extérieure » afin de la distinguer de celle, dite « intérieure », qui est la seconde solution exacte à l'équation d'Einstein découverte par Schwarzschild.
Contexte En , Urbain Le Verrier (-) présente une étude de l'orbite de Mercure qui montre que l'avance de son périhélie ne peut pas s'expliquer par les perturbations causées par les autres planètes connues du Système solaire. En , Simon Newcomb (-) obtient les mêmes résultats. En , Félix Tisserand (-) conclut son Traité de mécanique céleste en écrivant que l'anomalie de l'avance du périhélie de Mercure est la plus grande énigme astronomique de l'époque. Dès , Albert Einstein (-) envisage d'y répondre dans le cadre d'une théorie relativiste de la gravitation qui deviendra la relativité générale. En , il publie un article dans lequel il retrouve le résultat. C'est le de sa théorie.
Motivation La motivation de Karl Schwarzschild est de trouver une solution exacte de l'équation d'Einstein qui décrive l'orbite d'une planète autour du Soleil.
Annonce Schwarzschild annonce sa découverte par deux lettres datées du : l'une adressée à Einstein ; et l'autre, à Arnold Sommerfeld (-). Sa solution est présentée le à l'Académie royale des sciences de Prusse qui, le , la publie dans ses comptes rendus.
Codécouverte Peu de temps après Schwarzschild et indépendamment de lui, Johannes Droste (-), mathématicien néerlandais alors étudiant d'Hendrik Lorentz à l'université de Leyde, découvre la solution. Le , il communique ses résultats à l'Académie royale néerlandaise des arts et des sciences.
La métrique de Schwarzschild vignette|Représentation de la déformation de l'espace-temps (sans la dimension temporelle) en présence d'une masse centrale. Plus la déformation est forte et plus on s'éloigne du plan euclidien. La métrique de Schwarzschild permet de décrire la géométrie de l'espace-temps (sa courbure), et donc le champ gravitationnel, en donnant l'expression de l'intervalle d'espace-temps en tout point, dans des coordonnées sphériques centrée sur la sphère massive. Cet intervalle, qui a la dimension d'une longueur, est représentatif de la courbure de l'espace temps en donnant la longueur d'un déplacement infinitésimal à partir d'un point considéré. Cette longueur est égale à celle du théorème de Pythagore quand la courbure est nulle (espace euclidien), et en diffère quand la courbure est non nulle.
Expression de la métrique
La métrique de Schwarzschild s'exprime dans un système de coordonnées d'espace-temps dites et notées où est la coordonnée de temps d'un point-évènement et , et ses trois coordonnées d'espace : est la coordonnée de temps auquel on considère le point (mesuré par une horloge située à une distance infinie de l'objet massif) ; est la coordonnée radiale du point (mesurée comme la circonférence, divisée par 2π, de la sphère centrée sur l'objet massif et passant par le point) ; et sont les deux coordonnées angulaires du point sur la sphère : est la colatitude du point (en radians) ; est la longitude du point (en radians).
Dans ce système de coordonnées, la métrique de Schwarzschild a la forme :
où : est l'intervalle d'espace-temps d'un déplacement infinitésimal (dt, dr, dθ, dφ) à partir du point P ; est la constante gravitationnelle ; est la vitesse de la lumière ; est la masse de l'objet ; est le rayon de Schwarzschild associé à l'objet massif ; .
L'intervalle de temps propre s'écrit : .
En unités géométriques, la métrique s'écrit :
Cas Si , la métrique de Schwarzschild se réduit à celle de Minkowski.
Cas Si , la métrique est singulière en .
Cas Si , la singularité de la métrique en est une singularité nue.
Cas Si , la métrique est singulière en .
L' est une variété d'espace-temps dont la topologie, définie à partir du domaine de validité de la métrique pour , est le produit : , où est le rayon du corps de masse .
Ainsi défini, l'espace-temps de Schwarzschild est une variété à bord. Son complément pour est le trou noir de Schwarzschild.
Interprétation physique de la métrique
Métrique statique
L'absence du paramètre t dans l'expression de la métrique signifie que celle-ci ne varie pas avec le temps et est statique. La courbure en un point de l'espace temps reste la même quel que soit t. De même, l'absence de termes mixtes avec le temps (comme par exemple) indique que le champ gravitationnel ne provoque pas de mise en rotation de l'espace temps (comme dans l'effet Lense-Thirring), ce qui est cohérent avec la supposition initiale que l'astre n'est pas en rotationBernard Schutz Gravity from the ground up Cambridge University Press, 2003, .
Conséquences de la définition de r r n'est pas une véritable distance
Si on prend et (r constant et t constant), alors la métrique se réduit à qui n'est autre que le carré de la distance sur une sphère de rayon r dans un espace euclidien. Il s'ensuit que r doit être par définition mesuré de telle manière que cette expression soit vraie, et non pas par une mesure de la véritable distance entre le centre de la masse et le point. Pour donner une mesure à la coordonnée de Schwarzschild r en un point, il faut partir de la mesure de la circonférence de la sphère centrée sur l'objet massif, et passant par le point, et diviser par 2π. Dans l'espace-temps déformé de la relativité générale, on ne retombe pas forcément par ce calcul sur la distance radiale R entre le centre et le point, où la circonférence d'un cercle peut être supérieure ou inférieure à 2πR, selon que la courbure est positive ou négative.
On pourrait donner une expression de la même métrique utilisant la distance radiale, mais elle serait plus compliquée et moins utilisable. La relativité générale permettant l'utilisation de n'importe quel référentiel, aucun n'étant physiquement supérieur à un autre, on est libre d'utiliser n'importe quel système de coordonnées pour décrire la métrique, où le critère de choix sera plutôt le caractère utilisable de la métrique. D'ailleurs, d'autres systèmes de coordonnées existent pour décrire cette métrique, comme les coordonnées de Kruskal-Szekeres, décrites plus loin, qui choisit de mélanger même l'espace et le temps dans ses coordonnées.
r et distance radiale
r croît de manière monotone avec la distance radiale l, distance propre au centre de l'objet massif, dans le référentiel de l'objet massif. C'est-à-dire que si l est distance radiale correspondant à r et l′ correspondant à r′ alors . Mais r croit plus lentement que l.
La relation qui relie les deux coordonnées est .
est la masse de l'objet incluse dans une sphère de rayon r (en coordonnées de Schwarzschild). tant que r est inférieur au rayon de l'objet, et , masse de l'objet, si r est supérieur au rayon de l'objet. Pour un trou noir pour tout .
La fonction est monotone tant que , ce qui est assuré pour un objet statique, ce qui est un des prérequis pour la métrique de Schwarzschild. Le facteur n'a pas de singularité à , car m(r) décroit beaucoup plus vite que r.
Métrique minkowskienne à l'infini
L'espace-temps représenté par cette métrique est asymptotiquement plat. Lorsque , la métrique s'approche de celle de Minkowski, et la variété de l'espace-temps ressemble à celle de l'espace de Minkowski (on retrouve seulement le terme en qui est, comme on l'a vu au paragraphe précédent, la longueur sur une sphère dans un espace plat).
Le temps t
La coordonnée temporelle t est choisie dans cette métrique de manière à être toujours orthogonale avec les dimensions spatiales (les coefficients affectés à , et sont toujours nuls), pour représenter une véritable coordonnée temporelle. Par conséquent, le temps est forcément le temps Minkowskien, défini par une horloge située à l'infini de l'objet massif.
Physiquement, on peut mesurer le temps de Schwarzschild t en n'importe quel point, en procédant de la manière suivante. On place une horloge en chaque point de l'espace-temps, et une horloge "maître" est placée à r=infini. Ces horloges suivent des lignes d'univers telles qu'elles sont immobiles les unes par rapport aux autres (photons reçus d'une horloge distante sans décalage vers le rouge). On règle (en rythme et en décalage) les horloges de proche en proche, par rapport à l'horloge "maître" par une synchronisation d'Einstein.
Cela signifie que le temps de Schwarzschild t a tendance à s'accélérer à mesure qu'on s'approche de (le temps de l'horloge lointaine tourne de plus en plus vite).
Unicité, extensions et généralisations de la métrique
Unicité
Le théorème de Birkhoff est le théorème d'unicité en vertu duquel la métrique de Schwarzschild est l'unique solution exacte de l'équation d'Einstein décrivant le champ gravitationnel engendré par une distribution de masse de taille finie, à symétrique sphérique et dénuée de charge électrique, dans le vide.
Courbure
Le scalaire de Kretschmann associé à la métrique de Schwarzschild est égal à : . est proportionnel à et tend vers zéro lorsque tend vers l'infini.
diverge à : la singularité en est une vraie singularité de courbure et correspond à une singularité gravitationnelle.
a une valeur finie pour : la singularité en n'est qu'apparente qui correspond pas à une singularité gravitationnelle ; et la métrique est extensible.
Extensions
L'extension de Kruskal-Szekeres est l'extension analytique maximale de la métrique de Schwarzschild. Elle met en évidence que le trou noir de Schwarzschild est un trou noir éternel .
Généralisations