En mathématiques, en théorie des graphes, en informatique, une matrice d'adjacence pour un graphe fini à sommets est une matrice de dimension dont l'élément non diagonal est le nombre d'arêtes liant le sommet au sommet . L'élément diagonal est le nombre de boucles au sommet (pour des graphes simples, ce nombre est donc toujours égal à 0 ou 1).

Cet outil mathématique est très utilisé comme structure de données en informatique (tout comme la représentation par liste d'adjacence), mais intervient aussi naturellement dans les chaînes de Markov. En particulier, la probabilité limite s'interprète comme un vecteur propre.

Définition Supposons que est un graphe simple, où . Supposons aussi que les sommets de sont numérotés arbitrairement . La matrice d’adjacence de se rapportant à cet ensemble de sommets est la matrice booléenne avec

Exemples +Graphe étiquetéMatrice d'adjacence

Propriétés Unicité Une fois que l'on fixe l'ordre des n sommets (il y a n! choix possibles pour cet ordre), il existe une matrice d'adjacence unique pour chaque graphe. Celle-ci n'est la matrice d'adjacence d'aucun autre graphe. Dans le cas particulier d'un graphe simple et fini, la matrice d'adjacence est une matrice binaire avec des zéros sur la diagonale. Si le graphe n'est pas orienté, la matrice d'adjacence est symétrique, ce qui veut dire que .

Propriété de l'itérée

Si est la matrice d'adjacence d'un graphe fini dont les sommets sont numérotés de à , le nombre de parcours de longueur exactement allant de à est le coefficient en position de la matrice — ceci si chaque arête entre deux sommets a une longueur égale à .

Propriétés spectrales La théorie spectrale des graphes étudie les propriétés du spectre de plusieurs matrices, dont la matrice d'adjacence. En particulier la deuxième plus grande valeur propre est reliée au taux d'expansion du graphe.

Notes

Voir aussi

Articles connexes Matrice d'incidence Matrice laplacienne Matrice de distance euclidienne

Liens externes Café math : Adjacency Matrices of Graphs : Application des matrices d'adjacence au calcul des séries génératrices de chemins.

Catégorie:Structure de données en théorie des graphes Adjacence