vignette|La formule de quadrature de Cavalieri calcule l'aire sous la courbe cubique, ainsi que d'autres puissances supérieures. En calcul différentiel, la formule de quadrature de Cavalieri exprime une intégrale de la fonction puissance. Elle est nommée d'après le mathématicien italien du Bonaventura Cavalieri.

Intégrale définie :

Intégrale indéfinie :

D'autres formes existent, énumérées ci-dessous. En combinant cette formule à la linéarité de l'intégrale, cette formule permet de calculer les intégrales de tous les polynômes.

Le terme « quadrature » est un terme traditionnel pour désigner le calcul d'une aire ; l'intégrale est interprétée géométriquement comme l'aire sous la courbe . Les cas traditionnellement importants sont , la quadrature de la parabole, connue dans l'Antiquité, et , la quadrature de l'hyperbole, dont la valeur est un logarithme.

Formulaires Exposant négatif Pour les valeurs négatives de n (puissances négatives de x), il existe une singularité en x = 0, et donc l'intégrale définie est basée en 1, plutôt qu'en 0, ce qui donne :

De plus, pour les valeurs fractionnaires négatives (non entières) de n, la puissance xn n'est pas bien définie ; par conséquent , l'intégrale indéfinie n'est définie que pour x positif. Cependant, pour n entier négatif, la fonction xn est définie pour tout x non nul, et les intégrales indéfinies et définies sont définies et peuvent être calculées par un argument de symétrie, en remplaçant x par −x en basant l'intégrale définie négative en − 1.

Sur les nombres complexes, l'intégrale définie (pour des valeurs négatives de n et de x) peut être définie par une intégrale de contour, mais dépend alors du choix du chemin, plus précisément de son indice. Le problème géométrique est que la fonction définit un revêtement présentant une singularité au point 0.

n = − 1 Il faut distinguer le cas exceptionnel n = −1, qui donne un logarithme au lieu d'une puissance de x :

(où « ln » désigne le logarithme népérien, c'est-à-dire le logarithme en base e = 2,71828...).

L'intégrale impropre est souvent étendue aux valeurs négatives de x par le choix conventionnel suivant :

L'utilisation de la valeur absolue dans l'intégrale indéfinie permet d'unifier la forme de l'intégrale et signifie que l'intégrale de cette fonction impaire est une fonction paire, bien que le logarithme ne soit défini que pour des valeurs strictement positives. En fait, différentes valeurs constantes de C peuvent être choisies de part et d'autre de 0, car elles ne modifient pas la dérivée. La forme plus générale est donc :

Sur les nombres complexes, il n'existe pas de primitive globale pour 1/ x, car cette fonction définit un revêtement non trivial ; cette forme est particulière aux nombres réels.

On peut remarquer que l'intégrale définie partant de 1 n'est pas définie pour a négatif, car elle passe alors par une singularité. Cependant, comme 1/x est une fonction impaire, on peut définir l'intégrale définie pour les puissances négatives en partant de −1. Une autre solution consiste à utiliser des intégrales impropres et à calculer leur valeur principale de Cauchy, on obtient dans ce cas ce qui peut également être démontré par symétrie (puisque le logarithme est impair), donc ce qui rend donc indifférent que l'intégrale définie soit basée en 1 ou −1. Comme pour l'intégrale indéfinie, celle-ci est particulière aux nombres réels et ne s'étend pas aux nombres complexes.

Formes alternatives L'intégrale peut également s'écrire avec des indices décalés, ce qui simplifie le résultat et rend plus claire la relation avec la différentiation n-dimensionnelle et le n-cube :

Plus généralement, ces formules peuvent être exprimées par :

Plus généralement :

Preuve La démonstration moderne consiste à utiliser une primitive : la dérivée de xn est égale à nxn−1 pour tout entier positif ou nul. Ceci est démontré à partir de la formule du binôme et de la définition de la dérivée ; ainsi , d'après le théorème fondamental du calcul intégral, la primitive est l'intégrale. Cette méthode échoue pour comme la primitive candidate serait alors , qui est indéfinie en raison de la division par zéro. La fonction logarithme, qui est la primitive de 1/ x, doit être introduite et étudiée séparément. droite|vignette|536x536px|La dérivée peut être vue géométriquement comme la variation infinitésimale du volume du n-cube, qui correspond à l'aire de n faces, chacune de dimension n − 1. L'intégration de cette image – l'empilement des faces – géométrise le théorème fondamental de l'algèbre, donnant une décomposition du n-cube en n pyramides, ce qui constitue une preuve géométrique de la formule de quadrature de Cavalieri. Pour les entiers positifs, cette démonstration peut être menée du point de vue de la géométrie, : si l’on considère la quantité xn comme le volume de l’hypercube à n dimensions), alors la dérivée représente la variation de volume lorsque la longueur du côté varie – soit xn−1, ce qui peut s’interpréter comme l’aire de n faces, chacune de dimension n − 1 (en fixant un sommet à l'origine, il s'agit des n faces ne touchant pas ce sommet), ce qui correspond à l'agrandissement du cube par croissance dans la direction de chacune de ces faces – dans le cas tridimensionnel, l'ajout de 3 carrés infinitésimaux, un sur chacune de ces faces. Inversement, en géométrisant le théorème fondamental du calcul, on empile ces (n − 1) cubes infinitésimaux donne une (hyper)-pyramide, et n de ces pyramides forment le n-cube, ce qui permet d'obtenir la formule. De plus, le n-cube possède une symétrie cyclique d'ordre n autour de la diagonale qui parcourt ces pyramides (une pyramide étant un domaine fondamental ). Dans le cas du cube usuel (n = 3), c'est ainsi que le volume d'une pyramide a été rigoureusement établi à l'origine : le cube possède une symétrie d'ordre 3, avec un domaine fondamental constitué de pyramides, divisant le cube en 3 pyramides, ce qui correspond au fait que le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur. Ceci illustre géométriquement l'équivalence entre la quadrature de la parabole et le volume d'une pyramide, calculés classiquement par des méthodes différentes.

D'autres démonstrations existent ; par exemple, Fermat a calculé l'intégrale comme une aire par une astuce algébrique consistant à diviser le domaine en plusieurs intervalles de longueur inégale ; on peut également le démontrer en identifiant une symétrie du graphe y = xn sous dilatation inhomogène (de d dans la direction x et dn dans la direction y, en algébrisant les n dimensions de la direction y), ou en dérivant la formule pour toutes les valeurs entières en développant le résultat pour n = − 1 et en comparant les coefficients.

Histoire vignette|Archimède a calculé l'aire des segments paraboliques dans son ouvrage La Quadrature de la Parabole . Une discussion détaillée de l'histoire, avec des sources originales, est donnée dans ; voir aussi histoire du calcul infinitésimal et histoire de l'intégration.

Le cas de la parabole a été démontré dans l'Antiquité par le mathématicien grec Archimède dans son ouvrage La Quadrature de la parabole (), par la méthode d'exhaustion. Il est à noter qu'Archimède a calculé l'aire à l'intérieur d'une parabole – un « segment parabolique » – plutôt que l'aire sous la courbe y = x, qui correspond à l'approche de la géométrie cartésienne. Ces calculs sont équivalents, mais reflètent une différence de perspective. Les Grecs anciens, entre autres, calculaient également le volume d'une pyramide ou d'un cône, dont on peut montrer que les calculs sont mathématiquement équivalents.

Au XIe siècle, le mathématicien islamique Ibn al-Haytham (connu sous le nom d'Alhazen en Europe) a calculé les intégrales des cubiques et des quartiques (degré 3 et 4) par induction mathématique, dans son Traité d'optique.

Le cas des entiers supérieurs a été traité par Cavalieri pour n allant jusqu'à 9, à l'aide de sa méthode des indivisibles ( principe de Cavalieri ) . Il interpréta ces résultats comme des intégrales d'ordre supérieur, permettant de calculer des volumes de dimension supérieure, bien que de manière informelle, les objets de dimension supérieure étant alors peu familiers – see Informal pedagogical synopsis of the Analysis chapter for brief form. Cette méthode de quadrature fut ensuite étendue par le mathématicien italien Evangelista Torricelli à d'autres courbes, telles que la cycloïde. La formule fut ensuite généralisée aux puissances fractionnaires et négatives par le mathématicien anglais John Wallis, dans son ouvrage *Arithmetica Infinitorum* (1656), qui normalisa également la notion et la notation des puissances rationnelles – bien que Wallis ait interprété incorrectement le cas exceptionnel n = − 1 (quadrature de l’hyperbole) – avant d’être finalement mise sur des bases rigoureuses avec le développement du calcul intégral.

Avant la formalisation par Wallis des puissances fractionnaires et négatives, qui a permis d' exprimer explicitement les fonctions Ces courbes ont été traitées implicitement, via les équations. et ( p et q étant toujours des entiers positifs) et appelées respectivement paraboles supérieures et hyperboles supérieures (ou « paraboles supérieures » et « hyperboles supérieures »). Pierre de Fermat a également calculé ces aires (à l'exception du cas exceptionnel de − ) par une astuce algébrique : il a calculé la quadrature des hyperboles supérieures en divisant la droite en intervalles égaux, puis celle des paraboles supérieures en utilisant une division en intervalles inégaux, probablement en inversant les divisions utilisées pour les hyperboles. Cependant, comme dans le reste de son œuvre, les techniques de Fermat relevaient davantage d'astuces ponctuelles que de méthodes systématiques, et il n'est pas considéré comme ayant joué un rôle significatif dans le développement ultérieur du calcul infinitésimal.

Il est à noter que Cavalieri n'a comparé que des aires à des aires et des volumes à des volumes – ceux-ci ayant toujours des dimensions, tandis que la notion de considérer une aire comme étant constituée d' unités d'aire (par rapport à une unité standard), donc sans unité, semble avoir son origine chez Wallis ; ce dernier a étudié les puissances fractionnaires et négatives, et l'alternative au traitement des valeurs calculées comme des nombres sans unité était d'interpréter les dimensions fractionnaires et négatives.

Le cas exceptionnel de −1 (l'hyperbole standard) a été traité avec succès pour la première fois par Grégoire de Saint-Vincent dans son Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni (1647), bien qu'un traitement formel ait dû attendre le développement du logarithme naturel, qui a été réalisé par Nicolas Mercator dans son Logarithmotechnia (1668).

Notes et références

Voir aussi Bibliographie Histoire

in (pbk).

– discusses Wallace primarily

Preuves

Appears in print at end of:

Malik, M.A. (1984) "A Note on Cavalieri Integration", Mathematics Magazine 57(3): 154–6 V. Frederick Rickey (2011) Fermat's Integration of Powers", in Historical Notes for Calculus Teachers

Liens externes

Cavalieri Integration Infinitesimal calculus, Encyclopaedia of Mathematics

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