Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un espace métrique dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique.. C'est du moins la définition initialement donnée par Benoît Mandelbrot., mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.

Fractales déterministes δ < 1

δ(valeur exacte) δ(valeur approchée) Nom Illustration Remarques 0, donc non ensemble fractal, mais dimension de Minkowski-Bouligand égale à 1 0 Ensemble des nombres rationnels La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne sont donc pas fractals. La dimension de Minkowski-Bouligand d'un tel ensemble peut être différente s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une partie ouverte de . L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension de Minkowski-Bouligand égale à "1" car son adhérence est . 0,538 Attracteur de Feigenbaum 150px L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale On the metric properties of the Feigenbaum attractor .. Ensemble de Cantor 150px Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais non dénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la -ième itération, le segment central de longueur . Sa dimension fractale vaut alors et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec The scattering from generalized Cantor fractals, .. 0,6942 Ensemble de Cantor asymétrique 150px Remarquer que la dimension n'est plus , ni même (cas symétrique ci-dessus avec ).. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. (nombre d'or). 0,69897 Nombres réels avec décimales paires 200px Rappelant un ensemble de Cantor. Fractale UNU 150px Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc. où u est remplacé par 0, et n par 1.

1 ≤ δ < 2

δ(valeur exacte) δ(valeur approchée) Nom Illustration Remarques 1,0000 Ensemble de Smith-Volterra-Cantor 150px Construit en retirant le quart, puis le seizième, le … central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1. 1,0000 Triangle de Cantor 150px Construit en remplaçant un triangle par 3 triangles similaires, placés aux sommets, de rapport 1/3. Pour r compris entre 0 et 1/2, la dimension fractale est . 1,0000 Courbe de Takagi ou Blanc-manger 150px Définie sur l'intervalle unité par , où est la fonction « dents de scie ». Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg : avec . La dimension de Hausdorff vaut , cité dans .. calculé 1,0812 Ensemble de Julia z² + 1/4 100px Ensemble de Julia pour c = 1/4. Solution s de 1,0933 Frontière de la fractale de Rauzy150px Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci : , et A. Messaoudi, « Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe », Acta Arithmetica, vol. 95, , 2000, p. 195-223 .. est l'une des deux racines complexes conjuguées de . Frontière de l'Île de Gosper 100px Mesuré (Box counting) 1,2 Ensemble de Julia pour c=i (dendrite) 150px Ensemble de Julia pour c = i 1,2083 Fractale du mot de Fibonacci à 200px Construite à partir du mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous The Fibonacci Word fractal.. Avec (nombre d'or). 1,2107 Frontière du tame twindragon 150px Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)On 2-reptiles in the plane, Ngai, 1999. 1,2465 Frontière de la fractale du mot de Fibonacci 200px Construite à partir du mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous. Avec (nombre d'or). Attracteur de Hénon 100px La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0,3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ. Courbe de Koch 200px En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée. Courbe du Terdragon et frontière du terdragon150px L-System : semblable à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle. Carré de Cantor 100px Ensemble de Cantor en deux dimensions. calculé Ensemble de Julia pour z²-1 200px Ensemble de Julia pour c=-1.. Mesuré (box-counting) Fractale Beryl pour k=1 150px Pour k=1. La fractale Béryl est définie par avec x et y complexes, c un point du plan complexe, et la coupe dans le plan Béryl : Une fractale originale. calculé Baderne d'Apollonius 100px Voir. calculé (box-counting) Fractale d'inversion à 5 cercles 100px L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir.1,3652Variante de la saucisse de MinkowskivignetteVoir .calculé 1,3934 Lapin de Douady 150px Ensemble de Julia pour c=-0,123+0,745i. Mesuré (box counting) Fractale de Newton 150px Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'équation par la méthode de Newton. Fractale de Vicsek 100px Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés. Courbe de Koch quadratique (type 1) 150px On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment. Courbe de Koch quadratique (type 2) 150px Appelée également « saucisse de Minkowski ». 1,5000 une fonction de Weierstrass : 150px La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass définie par avec et est Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus. Frontière courbe du dragon 150px Cf. Chang & Zhang. 1,5236 Frontière du twindragon150px Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille). Arbre à trois branches 110px110px Chaque branche porte trois branches (ici et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales. Triangle de Sierpiński 100px C'est également le triangle de Pascal modulo 2. Courbe de Sierpiński en pointe de flèche 100px Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle. Frontière de la (T-square) 100px (nombre d'or) Courbe du dragon d'or 150px Construit avec deux similitudes de rapport et , avec . La dimension vaut car . Avec (nombre d'or). Triangle de Pascal modulo 3 150px D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est (cf. Stephen Wolfram.) Hexagone de Sierpinski 100px Construit à la manière du tapis de Sierpinski, sur un réseau hexagonal, avec 6 similitudes de rapport 1/3. On y remarque l'omniprésence du flocon de Koch. Fractale du mot de Fibonacci 150px Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F23 = 28657 segments. Avec (Nombre d'or). Solution de 1,6402 Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3 200px Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à simulitudes de ratio , a pour dimension de Hausdorff , solution de l'équation : . Triangle de Pascal modulo 5 150px D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est (cf. Stephen Wolfram) Mesuré (box-counting) 1,7 Attracteur d'Ikeda 150px Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0,9, k=0,4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda . Dérive d'un modélisation d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs.. Fractale pinwheel 150px Construite à partir du pavage en moulin à vent de John Conway. Hexagone de Sierpinski 100px Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).1,7712Fractal H-I de RiveraEn partant d'un carré divisant ses dimensions en trois parties égales pour former neuf carrés auto-similaires avec le premier carré, deux carrés du milieu (celui du dessus et celui du dessous du carré central) sont supprimés dans chacun des sept carrés non éliminés le processus est répété, donc il continue indéfiniment.Courbe de Koch à 85°, fractale de Cesàro150px Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif. 1,8272 Une fractale auto-affine200px Construite itérativement à partir d'une grille sur un carré, avec . Sa dimension de Hausdorff égale avec et le nombre d'éléments dans la colonne k. La dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général. (pentaflake) 100px Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, est le nombre d'or et vaut solution de 1,8687 L'"arbre des singes" 100px Cette courbe apparaît sous ce nom dans . Elle est basée sur 6 homothéties de rapport et 5 homothéties de rapport ..Tapis de Sierpiński100px Cube de Cantor100pxEnsemble de Cantor en trois dimensions.Produit cartésien de la courbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor150px Généralisation : Soit F×G, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors .Estimé Frontière de la fractale de Lévy100px Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2. Pavage de Penrose100px Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal.

δ = 2