vignette|Représentation 3D d'une trompette de Gabriel.|upright=1.5|alt=image d'un objet mathématique. Ressemble à un cône donc le sommet aurait été repoussé infiniment loin en déformant graduellement le solide. La trompette de Gabriel ou solide hyperbolique aigu est une surface de révolution, définie en faisant tourner une portion d'hyperbole autour d'une de ses asymptotes, et en la coupant par un plan orthogonal à l'axe. Ce solide est de longueur infinie dans une direction, sa surface est également infinie, mais son volume est, quant à lui, fini.
Histoire Cette figure a été inventée vers 1640 par l'Italien Evangelista Torricelli, qui découvre ses propriétés surprenantes. Ce résultat a eu beaucoup de retentissement au , parmi les mathématiciens d'abord, puis chez les philosophes et les épistémologues, tant le paradoxe semblait insaisissable. Cette diffusion s'inscrit dans un moment charnière de l'histoire des mathématiques, marquant la transition entre une géométrie fidèle à la tradition antique et les concepts modernes. Cette transition nécessite une formalisation rigoureuse de deux notions : le calcul infinitésimal et l'infini, deux idées que la géométrie classique tendait à exclure. Le paradoxe posé par la trompette de Gabriel contribue à faire progresser ces sujets.
À l'époque contemporaine, cette figure reste présente dans de nombreux manuels, comme exercice de calcul infinitésimal. Différents noms lui sont donnés : trompette ou cor de Gabriel d'après l'archange annonçant le Jugement dernier en soufflant dans cet instrument, trompette de Torricelli, chapeau du magicien
Généralités La trompette de Gabriel est engendrée par une portion d'hyperbole d'équation , tracée sur l'intervalle et tournant autour de l'axe .. Une définition un peu plus générale utilise l'hyperbole sur l'intervalle et conserve les mêmes propriétés.
Équation La surface de la trompette suit l'équation :
en coordonnées cylindriques selon l'axe (Ox), et l'équation :
en coordonnées cartésiennes, où la trompette est construite autour de l'axe pour quelconque..
Calcul du volume Son volume est obtenu en intégrant la surface (surface de la section de la trompette par le plan normal à l'axe à l'ordonnée , qui est un disque). On montre très facilement que le volume est égal à :
Calcul de l'aire L'aire de la portion de trompette entre et est donnée par la formule suivante, selon le premier théorème de Guldin, ou grâce à la première forme fondamentale :
qui peut se minorer facilement, en remarquant que le contenu de la racine carrée est toujours strictement supérieur à 1 :
est strictement supérieur à une expression qui diverge quand tend vers , donc tend lui-même vers l'infini.
Paradoxe du peintre Une façon d'exprimer le paradoxe d'avoir un solide de volume fini et de surface infinie est la question suivante : serait-il possible de peindre la surface intérieure de la trompette de Gabriel ? Si on raisonne à partir de la surface, celle-ci étant infinie, l'opération semble impossible : il faudrait une quantité infinie de peinture. Mais d'autre part, il est possible de remplir intégralement la trompette avec un volume fini de peinture, ce qui, a priori, recouvre toute sa surface. Le paradoxe s'explique en s'interrogeant sur l'épaisseur de la peinture. En faisant le raisonnement « une surface infinie demande une quantité infinie de peinture », on suppose que la peinture a une épaisseur donnée, non nulle (qui devient supérieure au rayon de la trompette, quand dépasse ). Si on imagine une peinture « mathématique » d'épaisseur nulle, alors le volume de peinture devient une forme indéterminée de type ..
Centre de gravité Une autre propriété surprenante de la trompette de Gabriel, pointée dès le , est l'inexistence d'un centre de gravité. Le centre de gravité du solide de révolution généré par la courbe ne peut, par symétrie, que se trouver sur l'axe, seule son abscisse doit être calculée, elle est donnée par la formule suivante, qui, appliquée à la trompette de Gabriel, ne donne pas de solution, puisque l'intégrale au numérateur ne converge pas. :
Contexte historique
thumb|right|Représentation graphique de la somme des 2 (Oresme).|alt=empilement de rectangles dont les largeurs sont 1, 1/2, 1/3, 1/4, etc. thumb|right|Méthodes des indivisibles appliquée à un disque.|alt=un disque dans lequel on inscrit une série de cercles concentriques. Un triangle formé de segments correspondant à ces cercles. Le mathématicien Nicole Oresme, au , s'était beaucoup intéressé à la question de la convergence ou de la divergence des sommes d'un nombre infini de termes. Il en a proposé des représentations graphiques comme, ci-contre, cette figure qui a une hauteur et un périmètre infinis, tout en ayant une surface finie, égale à 2.. Cet antécédent n'est jamais cité dans le débat qui entoure la trompette de Gabriel trois siècles plus tard, il semble que cette partie des travaux d'Oresme était tombée dans l'oubli à cette époque.
Les mathématiques de la première moitié du sont marquées par de nombreuses tentatives de formaliser l'étude des infinis et des infiniment petits. Le Dialogue de Galilée (1632) s'en fait par exemple l'écho. Les mathématiciens et les philosophes sont divisés sur la notion d'infini : a-t-elle un sens mathématique ? Peut-on introduire une grandeur infinie dans un calcul ? Existe-t-il plusieurs infinis différents ?..
Vers 1630, Fermat introduit, pour chercher les extrémums d'un résultat mathématique (la notion même de fonction n'a pas encore été formalisée), une quantité qu'il rend de plus en plus petite puis qui disparait du calcul, c'est un premier pas vers le calcul infinitésimal, mais celui-ci ne sera formalisé qu'à la fin du siècle, par Newton et Leibniz..
À la même époque, Bonaventura Cavalieri, dont Torricelli a été élève, développe et publie la méthode des indivisibles pour le calcul de volumes et de surfaces. Il s'agit de se représenter la quantité étudiée comme une juxtaposition infinie de quantités d'une dimension inférieure (respectivement, surfaces ou lignes), qui peuvent être réorganisées. La figure ci-contre donne un exemple élémentaire : la surface d'un disque. Cavalieri retrouve la formule connue depuis l'Antiquité en représentant le disque comme une somme de cercles concentriques. Ces cercles sont déformés en segments, qui sont réarrangés pour former un triangle, de base et de hauteur , d'où le résultat recherché pour l'aire..
Le débat sur la trompette de Gabriel s'inscrit donc dans le développement de ces notions, et y contribue.
Démonstrations de Torricelli La trompette de Gabriel est étudiée par Evangelista Torricelli qui l'appelle le « solide hyperbolique aigu » ()..
Torricelli énonce le théorème suivant :
L'énoncé seul est déjà remarquable dans l'histoire des mathématiques. Torricelli pose clairement que l'objet qu'il étudie est de longueur infinie, et non « indéfinie » : ce n'est pas une valeur qu'on peut rendre arbitrairement grande, le solide n'a vraiment pas de fin. Il y a là, souligné explicitement par les explications de Torricelli dans les correspondances, la revendication d'une forme de liberté intellectuelle : le mathématicien s'autorise à étudier un objet qui, manifestement, ne pourra jamais être réalisé en pratique, pas même de façon approchée.
Méthode des indivisibles Vers 1641, à une époque où le calcul intégral n'existe pas, il démontre que son volume est identique à celui d'un cylindre en utilisant la méthode des indivisibles développée par Bonaventura Cavalieri. Torricelli ne conçoit pas les indivisibles exactement de la même façon que Cavalieri : il leur attribue une épaisseur, petite devant les dimensions du solide, là où Cavalieri les conçoit comme des objets bidimensionnels. Cette évolution constitue un pas vers le calcul intégral. En quelque sorte, l'approche de Torricelli revient à s'imaginer que le solide est constitué d'un empilement de feuilles de papier, qu'il va séparer et réorganiser pour obtenir un autre objet de volume identique..
La démonstration que donne Torricelli consiste en cinq lemmes successifs.
Il complète la trompette par un « bouchon », c'est-à-dire un cylindre de rayon 1 et de hauteur 1 (donc de volume ), qui relie le plan Oyz et la base de la trompette. Il découpe ensuite son volume obtenu en cylindres coaxiaux d'épaisseur infinitésimale.
Pour reprendre l'analogie, les feuilles de papiers successives ont été enroulées autour de l'axe des pour former les cylindres. Il déplie ces cylindres en rectangle. Chaque rectangle a pour dimensions , comme le produit est constant, tous les rectangles ont la même aire : 2. Il déforme alors chaque rectangle en un disque de même aire, donc de rayon . Il obtient ainsi un cylindre de hauteur 1 et de surface de base égale à 2, donc de volume égal à 2. Il lui suffit alors d'enlever le volume connu du «bouchon» pour trouver le volume de la trompette : . Au passage, le volume de la corne est égal à celui du « bouchon », ce qui est un autre résultat remarquable..
Démonstration par exhaustion La validité de la méthode des indivisibles ne faisant pas l'unanimité, Torricelli double son calcul du volume par un raisonnement par exhaustion. Cette méthode est utilisée depuis Euclide et donc à même de rassurer les géomètres les plus conservateurs. Elle consiste à proposer deux démonstrations par l'absurde, démontrant l'une que le volume ne peut pas être supérieur au résultat recherché, l'autre qu'il ne peut pas être inférieur. Cette méthode est rigoureuse, mais elle nécessite de connaître déjà le résultat, elle est donc utilisée pour consolider une valeur obtenue par d'autres méthodes..
Torricelli émet les hypothèses que la trompette aurait un volume supérieur, ou inférieur à celui du cylindre. En passant par une trompette comme comparaison, il arrive, dans les deux cas, à des contradictions..
Retentissement Correspondances entre mathématiciens
À partir de la fin 1641, Torricelli partage cette découverte avec d'autres mathématiciens, à commencer par Cavalieri, dont il fut élève. Qu'un solide de longueur infinie puisse posséder un volume fini semble contre-intuitif aux mathématiciens de l'époque et suscite de nombreuses correspondances sur le sujet du fini et de l'infini.. Cavalieri s'en étonne, et Roberval met d'abord en doute le résultat de Torricelli. Roberval, convaincu par la suite, fournit une démonstration que Torricelli reconnaît être plus ingénieuse.
Publication de l'Opera geometrica En 1644, Torricelli publie l'Opera geometrica, ouvrage imprimé de géométrie. Il y inclut un chapitre sur le solide hyperbolique aigu, et le paradoxe est ainsi diffusé bien au-delà du petit cercle de mathématiciens qui avait échangé sur le sujet jusque-là.
Réactions des contemporains Ce résultat suscite l'admiration de Gassendi, remet en cause la définition du solide chez Barrow et Mersenne, déstabilise Descartes dans ses convictions sur l'infini et suscite un débat entre Hobbes et Wallis. Descartes estime que cette démonstration est dans une lettre datée de . Le solide hyperbolique aigu inspire à Pascal cette réflexion :
Débat entre Hobbes et Wallis Thomas Hobbes et John Wallis s'opposent dans une série de polémiques entre les années 1650 et les années 1670, déclenchée par la réaction de Wallis à la publication, par Hobbes, de ce qu'il croit être une démonstration de la quadrature du cercle. Hobbes défend une conception des mathématiques inféodées à la réalité physique, ce à quoi Wallis s'oppose. Hobbes considère la démonstration de Torricelli comme l'œuvre d'un fou. La position de Hobbes est philosophique : les humains sont finis et ne peuvent ni concevoir, ni utiliser l'infini (ou les infiniment petits).. Wallis, au contraire, développe toute une méthodologie pour travailler avec les infiniment petits et revendique la démonstration de Torricelli comme une source d'inspiration.. Hobbes, à l'issue de la controverse, perd sa crédibilité dans le domaine mathématique..
Barrow