Euclide

Euclide (en grec ancien : ), dit parfois Euclide d'Alexandrie, est un mathématicien de la Grèce antique, auteur d’un traité de mathématiques, qui constitue l'un des textes fondateurs de cette discipline en Occident. Aucune information fiable n'est parvenue sur la vie ou la mort d'Euclide ; il est possible qu'il ait vécu vers 300 avant notre ère.

Son ouvrage le plus célèbre, les Éléments, est un des plus anciens traités connus présentant de manière systématique, à partir d'axiomes et de postulats, un large ensemble de théorèmes accompagnés de leurs démonstrations. Il porte sur la géométrie, tant plane que solide, et l’arithmétique théorique. L'ouvrage a connu des centaines d’éditions en toutes langues et ses thèmes restent à la base de l’enseignement des mathématiques au niveau secondaire dans de nombreux pays.

Du nom d’Euclide dérivent en particulier l’algorithme d'Euclide, la géométrie euclidienne, la géométrie non euclidienne et la division euclidienne.

Biographie Il n’existe aucune source directe sur la vie d’Euclide : nous ne disposons d’aucune lettre, d’aucune indication autobiographique (même sous la forme d’une préface à un ouvrage), d’aucun document officiel, ni même d’aucune allusion par un de ses contemporains. Comme le résume l’historien des mathématiques Peter Schreiber, « sur la vie d’Euclide, pas un seul fait sûr n’est connu »..

L’écrit le plus ancien connu concernant la vie d’Euclide apparaît dans un résumé sur l’histoire de la géométrie écrit au de notre ère par le philosophe néo-platonicien Proclus, commentateur du premier livre des Éléments. Proclus ne donne lui-même aucune source pour ses indications. Il dit seulement : Si l'on admet la chronologie donnée par Proclus, Euclide, vivant entre Platon et Archimède et contemporain de Ptolémée , a donc vécu vers 300

Aucun document ne vient contredire ces quelques phrases, ni les confirmer vraiment. La mention directe d’Euclide dans les œuvres d’Archimède vient d’un passage considéré comme douteux..

Archimède fait bien appel à certains résultats des Éléments et un ostrakon, trouvé sur l’île Éléphantine et daté du avant notre ère, traite de figures étudiées dans le livre XIII des Éléments, comme le décagone et l’icosaèdre, mais sans reproduire exactement les énoncés euclidiens ; ils pourraient donc provenir de sources antérieures à Euclide.. La date approximative de 300 est toutefois jugée compatible avec l’analyse du contenu de l’œuvre euclidienne et c'est celle adoptée par les historiens des mathématiques....

Par ailleurs, une allusion du mathématicien du de notre ère, Pappus d'Alexandrie, suggère que des élèves d’Euclide auraient enseigné à Alexandrie. Certains auteurs ont, sur cette base, associé Euclide au Mouseîon d'Alexandrie, mais, là encore, il ne figure sur aucun document officiel correspondant. Le qualificatif souvent associé à Euclide dans l’Antiquité est simplement stoichéiôtês (en ), c’est-à-dire « auteur d’Éléments ».

thumb|left|upright|Portrait d'Euclide par Juste de Gand peint vers 1474 ; le géomètre est faussement identifié à Euclide de Mégare, selon une confusion courante à l'époque entre ce dernier et l’auteur des Éléments.

Plusieurs anecdotes circulent à propos d’Euclide, mais comme elles apparaissent aussi pour d’autres mathématiciens, elles ne sont pas considérées comme réalistes : il en est ainsi de celle, célèbre, rapportée par Proclus, selon laquelle Euclide aurait répondu à Ptolémée qu’il n’y avait pas de voie royale en géométrie ; une variante de la même anecdote est en effet attribuée à Ménechme et Alexandre le Grand.. De même, depuis l’Antiquité tardive, divers détails sont ajoutés aux récits de la vie d’Euclide, sans sources nouvelles, et souvent de manière contradictoire. Certains auteurs font ainsi naître Euclide à Tyr, d’autres à Gela, on lui attribue diverses généalogies, des maîtres particuliers, différentes dates de naissance et de mort, que ce soit pour respecter les règles du genre, ou pour favoriser certaines interprétationsPlusieurs exemples sont donnés, et réfutés, dans , , , .. Au Moyen Âge et au début de la Renaissance, le mathématicien Euclide est ainsi souvent confondu avec un philosophe contemporain de Platon, Euclide de Mégare..

Confronté à ces contradictions et au manque de sources fiables, l’historien des mathématiques Jean Itard a même suggéré en 1961 qu’Euclide en tant qu’individu n’existait peut-être pas et que le nom pouvait désigner « le titre collectif d’une école mathématique », soit celle d’un maître réel entouré d’élèves, soit même un nom purement fictif.. Mais cette hypothèse ne semble pas retenue, y voit une pratique étrangère à l’époque concernée..

left|thumb|Un des plus anciens fragments des Éléments d'Euclide qui nous soit parvenu, découvert à Oxyrhynque, et qui daterait d'entre 75 et 125 AC. Nous ne disposons pas de plus d'un pour cent du texte d'Euclide, dans des sources antérieures à la fin du ..

Œuvres d'Euclide thumb|upright|Statue d'Euclide à Oxford. Des mentions d’ouvrages attribués à Euclide figurent chez plusieurs auteurs, en particulier dans la Collection mathématique de Pappus (datée usuellement du ou ) et dans le Commentaire aux Éléments d’Euclide dû à Proclus. Seule une partie de ces ouvrages euclidiens nous est parvenue.

Les Éléments

Les Éléments de mathématiques (, Stoikheia), en treize livres, constituent l’ouvrage le plus célèbre d’Euclide et un best-seller de l’édition scientifique. De nombreuses versions du texte existent sous forme manuscrite, complètes ou non, dans les bibliothèques du monde entier. Jusqu’au début du , toutes les versions connues se référaient à celle de Théon d’Alexandrie, un auteur du (le plus ancien manuscrit complet, dit Codex Bodleianus, datant du ). En 1808, François Peyrard identifia un manuscrit en grec du (découvert à la Bibliothèque vaticane lors des campagnes de Napoléon en Italie) comme se référant à une version antérieure à celle de Théon. Le premier texte imprimé des Éléments, en latin, est issu de Campanus de Novare, à partir de versions du texte en arabe, et a été publié à Venise en 1482 par l’imprimeur Erhard RatdoltCette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.. L’édition critique moderne, qui fait encore référence de nos jours et intègre les connaissances tirées de plusieurs manuscrits grecs (y inclus celui identifié par Peyrard) est due à Johan Ludvig Heiberg. Que ce soit en version partielle (les six premiers livres seulement par exemple) ou complète, les adaptations, les éditions commentées, les traductions des Éléments ont été très nombreuses jusqu’à nos jours, recense par exemple environ cent-soixante éditions entre 1650 et 1700 et quatre-cents entre 1850 et 1900..

Un des aspects les plus célèbres de l’ouvrage est sa forme déductive et son organisation systématique et progressive ; .. L’auteur énonce d’abord des définitions, comme celle d’une ligne (« une longueur sans largeur ») au livre I, ou d’un nombre premier (« un nombre mesuré par une seule unité ») au livre VII ; des notions communes (par exemple, « si des choses égales sont retranchées de choses égales, les restes sont égaux ») ; des postulats, comme la possibilité de construire une ligne droite passant par deux points donnés. Il démontre ensuite de nouvelles propriétés ou effectue de nouvelles constructions, à partir de ce qui est déjà connu (les définitions, ou des propositions déjà établies). Toutes les constructions reposent ainsi sur celles de droites ou de cercles, une contrainte connue plus tard sous le nom de constructions à la règle et au compasD’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données..

Les six premiers livres sont consacrés à la géométrie plane. Le premier traite en particulier des triangles et des droites parallèles, et inclut une preuve du théorème de Pythagore ; le deuxième traite de la construction de figures planes de forme donnée, des carrés par exemple, et de surface égale à celle d’une figure rectiligne donnée ; le troisième traite des propriétés du cercle ; le quatrième étudie l’inscription de figures dans un cercle, ou de cercles dans des figures rectilignes, par exemple la construction de pentagones réguliers inscrits dans ou circonscrits à un cercle donné ; le cinquième traite de la théorie des rapports et des proportions entre grandeurs, théorie qui est appliquée à la géométrie dans le sixième livre.

Les trois livres suivants, aussi appelés « Livres arithmétiques », traitent des nombres premiers, de la construction du plus grand diviseur entier commun à deux ou plusieurs entiers, des nombres en progression géométrique, et donnent un critère pour construire des nombres parfaits (c’est-à-dire des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs propres). On y trouve un procédé par soustractions successives répétées, qui est maintenant à la base de la division euclidienne et de l’algorithme d'Euclide.

Le livre X définit et classifie certaines quantités irrationnelles ; les trois derniers livres, enfin, traitent de la géométrie dans l’espace, culminant avec la construction, dans une sphère, des cinq solides réguliers, pyramide, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre.

Les deux livres supplémentaires, sur les polyèdres réguliers, souvent baptisés « livres et » des Éléments dans les éditions anciennes, ont été écrits par d’autres auteurs, de plusieurs siècles postérieurs..

La géométrie telle qu'elle est définie par Euclide dans ce texte fut considérée pendant des siècles comme la géométrie, et comme une représentation adéquate du monde physique. Or, parmi les postulats du livre I, figure celui connu sous le nom de « postulat d'Euclide » ou « postulat des parallèles », que l'on exprime de nos jours sous la forme : « par un point pris hors d'une droite il passe une et une seule parallèle à cette droite ». L’étude de ce postulat a conduit au au développement de géométries non euclidiennes, c’est-à-dire alternatives à celle d’Euclide et n’admettant pas ce postulat, et plus généralement au renouvellement de la notion même de géométrie et de ses liens avec la représentation du monde réel.

Les Données

Les Données (, Dedomena) sont le seul autre ouvrage d’Euclide traitant de géométrie dont on possède une version en grec (il est contenu par exemple dans le manuscrit du découvert par Peyrard.). Il est aussi décrit en détail dans le livre de la Collection mathématique de Pappus, le « Trésor de l’analyse ».

Les Données se situent dans le cadre de la géométrie plane et sont considérées par les historiens comme un complément des Éléments, mis sous une forme plus adéquate à l’analyse de problèmes... L’ouvrage contient douze définitions, expliquant ce que signifie qu’un objet géométrique est donné, en position, en forme, en grandeur, et . Ceux-ci expliquent comment si certains éléments d’une figure sont donnés, d’autres relations ou éléments peuvent à leur tour être déterminés.. Par exemple (data 29), « si une ligne droite est donnée en position, et si, à partir d’un point donné dessus est tracée une droite faisant un angle donné à la première, cette droite tracée est donnée. », ou encore (data 39) « si tous les côtés d’un triangle sont donnés en grandeur, le triangle est donné en forme »..

De la division des figures Cet ouvrage est décrit dans le Commentaire de Proclus, mais il est perdu en grec ; il est connu par des morceaux en latin (De divisionibus), mais surtout par un manuscrit en arabe découvert au , qui contient 36 propositions, dont quatre sont démontrées..