En géométrie différentielle, le théorème de Poincaré-Hopf aussi connu sous le nom de théorème de l'indice de Poincaré-Hopf est un résultat sur les champs de vecteurs d'une variété différentielle. Il établit un lien entre la caractéristique d'Euler de la variété — un invariant topologique — et les zéros d'un champ de vecteur.

Notions préliminaires Variété

Une variété différentielle est un espace topologique qui ressemble localement à un espace euclidien et sur lequel on peut étendre les notions du calcul différentiel. En tout point , elle est munie d'un espace vectoriel tangent généralisant le plan tangent à une surface. De même, à toute application entre deux variétés correspond une application linéaire , appelée différentielle, transformant les vecteurs tangents de l'espace de départ en vecteurs tangents dans l'espace d'arrivée. Ces deux notions décrivent le comportement local d'une variété et des applications entre variétés.

Champ de vecteurs

Un champ de vecteurs sur une variété est une application lisse qui associe à tout point un vecteur tangent . Un point est un zéro du champ de vecteurs si . Il est dit isolé lorsqu'il existe un voisinage dans lequel aucun autre zéro n'est présent. Pour une paramétrisation centrée en (i.e. ), un champ de vecteurs sur la variété peut être tiré en arrière dans l'espace euclidien en défini par . Par construction, si est un zéro isolé alors a un zéro isolé à l'origine.

Indice L'indice d'un zéro isolé d'un champ de vecteurs est un entier relatif qui mesure la manière dont le champ « tourne » autour de ce point. Pour le calculer, on tire en arrière le champ de vecteurs dans l'espace euclidien et on isole l'origine à l'intérieur d'une sphère ne contenant aucun autre zéro. L'application qui à chaque point de cette sphère associe le vecteur tangent normalisé définit une fonction de vers la sphère unité. L'indice du zéro , noté , correspond au degré topologique de cette application.

Énoncé

Dans le cas où la variété est à bord, le théorème reste vrai à condition d'ajouter une condition supplémentaire sur le champ de vecteurs.

Démonstrations Les premières démonstrations ont une approche combinatoire et s'appuient sur une triangulation de la variété . Par la suite des démonstrations plus synthétique ont été trouvées. Les propriétés du degré permettent de montrer directement que la somme des indices ne dépend pas du champ de vecteurs. Mais cette démonstration nécessite des outils supplémentaire pour montrer que cette somme est égale à la caractéristique d'Euler. D'autres démonstrations sont également possible notamment via le théorème de Lefschetz-Hopf ou le .

Via le degré

On commence par enlever une boule autour de chaque zéro du champ de vecteurs afin que soit bien défini. Comme les vecteurs du bord de Si la variété est sans bord, il est possible d'étendre le champ de vecteurs sur un voisinage tubulaire. sont sortant, la restriction du champ de vecteurs normalisé au bord est homotope à l'application de Gauss . Elles ont donc même degré. Sur le bord des boules retirées, le degré de vaut l'opposé de l'indice du zéro. Par ailleurs, puisque le champ de vecteurs normalisé s'étend à toute la variété privée des boules, son degré sur son bord (comprenant le bord de et les bords des boules) est nul.

L'application de Gauss ne dépendant que de la topologie de , la somme des indices est bien invarianteCette démonstration passe rapidement sur certains détailles. Pour une démonstration rigoureuse voir .. Puisque cette somme est indépendante du champ de vecteurs, il suffit de trouver un champ de vecteurs pour lequel cette somme coïncide avec la caractéristique d'Euler. Par exemple le gradient d'une fonction de Morse est un champ de vecteurs dont les zéros sont les points critiques de . L'indice des zéros vaut où est un l'indice de Morse de la singularité. La somme des indices est alors égale à la caractéristique d'Euler de la variété..

Via le théorème de Lefschetz Le théorème de Lefschetz-Hopf affirme que si l'ensemble des points fixes d'une application est fini, alors la somme des indices de est égale à un invariant appelé nombre de Lefschetz, Proposition VII.6.6. Pour un flot tangent au champ de vecteurs, les points fixes de correspondent aux zéros du champ de vecteurs et leurs indices sont égaux. De plus le flot est une homotopie entre et . Le nombre de Lefschetz de est donc égal à la caractéristique d'Euler. Finalement le théorème de Lefschetz-Hopf donne l'égalité entre la somme des indices et la caractéristique d'Euler.

Par définition le flot vérifie . Comme il est supposé tangent, on a en plus . Le développement de Taylor à l'ordre 1 par rapport à la variable donne . Sur une sphère ne contenant aucun autre zéro, il existe suffisamment petit pour que soit non nulle. On a donc

Le degré du membre de gauche est égal à l'indice du point fixe. Le membre de droite définit une homotopie entre et dont le degré est par définition . Par invariance du degré par homotopie, l'indice du point fixe et du zéro sont égaux.

Via le théorème de Chern-Gauss-Bonnet

Histoire

Dans son mémoire publié en 1881 , Henri Poincaré introduit la notion d'indice d'un champ de vecteurs sur la sphère S et démontre que la somme de ces indices de ses singularités est égal à 2.

Ce résultat est redémontré indépendamment par L. E. J. Brouwer en 1909 , mais en supposant le champ de vecteurs seulement continu. En 1911, Brouwer introduit la notion de degré d'une application qui lui permet d’étendre ce résultat aux sphères S . Ce théorème est aujourd'hui connu sous le nom de théorème de la boule chevelue. Cependant certains passages de la preuve sont assez obscure et il est difficile d'en établir la validité.

En 1925, Heinz Hopf annonce qu'il est possible de généraliser le théorème à toute variété compacte en s'appuyant le théorème du point fixe de Lefschetz . La preuve est publiée l'année suivante dans sa thèse d'habilitation . Une démonstration plus élémentaire utilisant le flot d'un vecteurs de classe est donnée dans son ouvrage publié en 1935.

Liens avec d'autres théorèmes Théorème de la boule chevelue On en déduit en particulier le théorème de la boule chevelue : la caractéristique d'Euler-Poincaré de la sphère S valant 2 si n est pair, tout champ de vecteurs sur cette sphère doit s'annuler.

Théorème de Gauss-Bonnet

Théorème de Lefschetz

Notes et références Notes

Références

Voir aussi Articles connexes

Bibliographie

Sources primaires . . . . .

Sources secondaires . . . .

Liens externes

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