En mathématiques, les sommes de Dedekind, nommées ainsi en l'honneur du mathématicien Richard Dedekind, sont certaines sommes de produits d'une fonction en dents de scie s, et sont fonction de deux variables entières. Dedekind les a introduites pour exprimer l'équation fonctionnelle de la fonction êta de Dedekind. Elles ont été, par la suite, beaucoup étudiées en théorie des nombres et sont apparues dans certains problèmes de topologie. Les sommes de Dedekind sont reliées entre elles par de nombreuses équations, dont cet article ne liste qu'une partie.
Définition
La somme de Dedekind est une fonction définie pour deux entiers de la manière suivante :
Propriétés
Si l'on poseon peut écrire queCela permet d'exploiter le fait que est périodique de période 1. Si , alors avec le même signe. Si , alors . Si , alors .
Loi de réciprocité
Si et sont premiers entre eux, alors :
Propriétés de congruence
Le nombre est entier. Si (avec (.,.) désignant le plus grand commun diviseur), on a :
On a aussi : Si et impair, alors pour tout impair : Enfin, si vaut 3, 5, 7 ou 13 et que . Choisissons les entiers et tels que et et posons :Alors est un entier pair.
Référence Tom Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag
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