En théorie des probabilités, une variable aléatoire à densité est une variable aléatoire réelle, scalaire ou vectorielle, pour laquelle la probabilité d'appartenance à un domaine se calcule à l'aide d'une intégrale sur ce domaine.
La fonction à intégrer est alors appelée « fonction de densité » ou « densité de probabilité », égaleL’égalité s’entend ici au sens des fonctions presque partout définies. (dans le cas réel) à la dérivée de la fonction de répartition.
Les densités de probabilité sont les fonctions essentiellement positives et intégrables d'intégrale 1 sur .
Informellement, une densité de probabilité peut être vue comme la limite d'un histogramme : si on dispose d'un échantillon suffisamment important de valeurs d'une variable aléatoire à densité, représenté par un histogramme des fréquences relatives des différentes classes de valeurs, alors cet histogramme va ressembler à la densité de probabilité de la variable aléatoire, pourvu que les classes de valeurs soient suffisamment étroites.
Variable aléatoire réelle
Une variable aléatoire réelle est dite à densité s'il existe une fonction positive et intégrable sur , appelée fonction de densité, telle que pour tout on ait .
Dans ce cas, pour tout réel on trouve . En outre, la fonction de répartition est continue et même presque partout dérivable, et sa dérivée est alors presque partout égale à la fonction de densité.
On obtient aussi , ce qui correspond à la somme des probabilités élémentaires pour une variable aléatoire discrète, mais la fonction de densité peut très bien avoir des valeurs strictement supérieures à 1.
Le support d'une variable aléatoire à densité est l'adhérence de l'ensemble des réels pour lesquels la fonction de densité est essentiellement non nulle, c'est-à-dire le complémentaire de la réunion des intervalles ouverts sur lesquels la fonction de répartition est constante.
En traçant la représentation graphique de la densité de probabilité, la probabilité se lit comme l'aire sous la courbe sur l'intervalle .
Exemples On peut classer les lois à densité selon leur type de support : borné, semi-infini ou infini. Chacune d'elles représente en général une famille de lois dépendant d'un ou plusieurs paramètres.
Parmi les lois à densité à support borné, on trouve notamment les lois uniforme, triangulaire, ou la loi bêta.
Beaucoup de lois à densité ont pour support l'ensemble , comme la loi exponentielle, le χ² (« khi-deux »), la loi Gamma ou la loi de Pareto.
D'autres ont pour support l'ensemble comme la loi normale et la loi de Cauchy.
Critères d'existence d'une densité En vertu d'un théorème dû à Lebesgue, Théorème 17.12, p. 264 et Théorème 18.16, p. 285., la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle étant croissante, elle est dérivable presque partout sur , et la dérivée ainsi obtenue est positive et intégrable sur , d'intégrale inférieure ou égale à 1.
Une variable aléatoire réelle est à densité si et seulement si l'un des critères équivalents suivants est satisfait : Sa fonction de répartition est absolument continue ; L'intégrale sur de la dérivée de sa fonction de répartition vaut 1.
La continuité de la fonction de répartition exclut les variables aléatoires discrètes mais ne suffit pas pour définir une fonction de densité, comme dans le cas d'une variable aléatoire dont la fonction de répartition est l'escalier de Cantor. Une telle loi est dite diffuse, mais la dérivée de la fonction de répartition est presque partout nulle.
On dispose également d'une condition suffisante souvent utilisée dans les cas pratiques : une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition est continue et de classe par morceaux sur est une variable à densité.
Espérance, variance et moments Soit une variable aléatoire réelle ayant une densité de probabilité . D'après le théorème de transfert, possède un moment d'ordre si et seulement si l'intégrale
est finie. On a dans ce cas
En particulier, lorsque le moment d'ordre 2 existe :
et, d'après le théorème de König-Huyghens,
Définition informelle de la densité de probabilité La définition qui suit est une reformulation de la définition intégrale proposée en début d'article. C'est la définition utilisée en général par les physiciens, en particulier ceux issus du domaine de la physique statistique.
Si est un nombre réel positif infiniment petit, alors la probabilité que soit inclus dans l'intervalle est égale à soit :
Cette « définition » est très utile pour comprendre intuitivement à quoi correspond une densité de probabilité, et elle est correcte dans beaucoup de cas importants. On peut tracer une analogie avec la notion de densité de masse, ou encore avec la notion de densité de population. Une formulation plus mathématique serait
ce qui permet de comprendre en quoi la définition donnée en physique n'est pas complètement rigoureuse :
et il est alors facile de vérifier que si possède une limite à droite en , qu'on note , on a alors :
ce qui corrobore la définition physique lorsque est continue à droite en , mais la met en défaut quand . Bien sûr, les densités de probabilités usuelles sont continues à droite sauf éventuellement en un nombre fini (et en un petit nombre) de points.
Ce genre d'interprétation infinitésimale (ou issue de la physique) s'étend aux dimensions (voir la section suivante).
Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire
Cette définition est en particulier valable pour et est donc équivalente à la première définition, dans le cas particulier . Il existe une définition (équivalente) en termes d'espérance mathématique :
Si une fonction est la densité de probabilité d'une variable aléatoire à valeur dans , cette fonction vérifie les propriétés suivantes : est intégrable sur ;
est presque partout positive ou nulle sur . Réciproquement, si une fonction vérifie les 3 propriétés ci-dessus, on peut construire une variable aléatoire à valeur dans ayant pour densité de probabilité. Les variables aléatoires qui possèdent une densité de probabilité sont appelées parfois variables à densité, parfois variables continues.
Existence En vertu du théorème de Radon-Nikodym, le vecteur aléatoire possède une densité si et seulement si, pour chaque borélien de dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a
Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire possède une densité, alors , , ou bien encore, plus généralement, , , pour des fonctions et suffisamment régulièresIl suffit que soit mesurable, ce qui est une forme de régularité minimale. Pour , c'est plus compliqué, en effet il faut éviter des phénomènes de type « courbe de Peano », mais il faut aussi exclure le cas où est identiquement nulle. Il faut donc que soit suffisamment régulière, par exemple au sens où on peut lui appliquer le théorème des fonctions implicites, de sorte que la courbe d'équation soit de mesure nulle., parce que la mesure de Lebesgue (c'est-à-dire la surface) de la (resp. du cercle unité, du graphe de la fonction , ou de la courbe d'équation ) sont nulles.
Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité : par exemple, si
où désigne une variable aléatoire à valeur dans (par exemple, si est tiré au hasard uniformément sur le cercle unité, c'est-à-dire si suit la loi uniforme sur ), alors ne possède pas de densité car
Cas des variables aléatoires réelles à densité En spécialisant à , on note que, parmi les boréliens de dont la mesure de Lebesgue est nulle, figurent en particulier les parties finies de Donc une variable aléatoire réelle à densité vérifie, en particulier :
pour tout nombre réel , et, par conséquent,
Il s'ensuit que les variables aléatoires réelles à densité ont nécessairement une fonction de répartition continue sur La continuité de la fonction de répartition n'est pas, toutefois, une propriété caractéristique des variables aléatoires réelles à densité, comme le montre l'exemple de la loi de Cantor, dont la fonction de répartition est l'escalier de Cantor.
Non-unicité de la densité de probabilité Si et sont deux densités de probabilités de la même variable aléatoire alors et sont égales presque partout. Réciproquement, si est presque partout égale à une densité de probabilité de , alors est une densité de probabilité de . Ainsi une variable aléatoire à densité possède-t-elle toujours une infinité de densités de probabilité : par exemple, en perturbant l'une des densités de de manière arbitraire en un nombre fini de points, on obtient encore une densité de .
En revanche, la densité de probabilité est par conséquent unique modulo l'égalité presque partout.
Densité jointe de plusieurs variables aléatoires réelles La fonction définie de dans est une densité jointe de la suite de variables aléatoires réelles si est une densité de probabilité du vecteur aléatoire à valeurs dans défini par
On peut alors calculer la probabilité d'événements concernant les variables aléatoires réelles de la manière suivante :
Densité marginale Soit un vecteur aléatoire à valeurs dans de densité et pour soit et les deux coordonnées de . On notera
Alors
Plus généralement, si définie de dans est une densité jointe de :
on peut calculer une densité de (par exemple) de la manière suivante (si par exemple) :
c'est-à-dire en intégrant par rapport à toutes les coordonnées qui ne figurent pas dans le triplet . La fonction est elle aussi appelée « densité marginale » ou « marginale » de . Une formulation générale serait lourde. La démonstration générale est calquée sur la démonstration de la propriété ci-dessus.
Indépendance des variables aléatoires à densité Soit une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de probabilité
Fonction de variables aléatoires à densité Dans cette section, on considère la question suivante : étant donné une variable aléatoire de densité et une fonction , quelle est la loi de la variable aléatoire ? En particulier, sous quelles conditions possède-t-elle aussi une densité de probabilité ? Et comment peut-on la calculer ? Une réponse rapide est que, localement, on doit pouvoir appliquer à la fonction le théorème d'inversion locale sauf sur un ensemble de points de mesure de Lebesgue nulle). Le calcul de se résume alors à un changement de variable dans une intégrale simple ou multiple, comme cela est illustré dans les quelques exemples ci-dessous.
Somme de variables aléatoires indépendantes La densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes et , chacune ayant une densité et , est donnée par une convolution de ces densités :
Pour déterminer la loi de la somme de variables indépendantes, on peut aussi passer par la fonction génératrice des moments ou par la fonction caractéristique d'une variable aléatoireQue ces variables aléatoires ait une densité de probabilité, ou qu'elles n'en aient pas. Notons que, si une variable aléatoire possède une densité de probabilité, alors sa fonction caractéristique est la transformée de Fourier de cette densité.. C'est ainsi qu'est démontré le théorème central limite.
La densité de probabilité de la moyenne de deux variables aléatoires indépendantes et , chacune ayant une densité et , s'obtient alors en utilisant la fonction suivante :
Fonction d'une variable aléatoire réelle à densité Notons la densité de la variable aléatoire réelle . Il est possible de considérer un changement de variable, dépendant de . La transformation est la suivante : où la fonction est strictement monotone et dérivable, de dérivée qui ne s'annule nulle part. La densité de la transformée est
où représente la fonction réciproque de et la dérivée de .
Pour une transformation non monotone, la densité de probabilité de est